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Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. (German) JFM 39.0407.01
Sitzungsber. Phys.-Mediz. Sozietät Erlangen. 40, 84-89 (1908).
O. Toeplitz hat in den Gött. Nachr. 1907, 101 (F. d. M. 38, 157, 1907, JFM 38.0157.01, gezeigt, daß eine reelle beschränkte Bilinearform \(A\) von unendlichvielen Veränderlichen dann und nur dann eine eindeutige, beschränkte Reziproke hat, wenn die beiden definiten quadratischen Formen \(AA'\) und \(A'A\) eine solche besitzen, und hat aus der sogenannnten Jacobischen Transfomation ein Kriterium abgeleitet, um aus den Koeffizienten der Form zu erkennen, wann eine definite beschränkte quadratische Form \(S\) eine eindeutige beschränkte Reziproke hat, sowie ein Verfahren zu deren Bestimmung gegeben. Verf. gewinnt dieses Kriterium in einfacherer Weise, indem er anstatt der Jacobischen Transformation die sogenannte Neumannsche Methode verwendet: er stellt mit Hülfe eines passenden Wertes \(\alpha\) eine Form \(S - \alpha E = S_1\) her, deren Maximum \(< 1\) ist, sodaß die nach sukzessiven Faltungen von \(S_1\) fortschreitende Potenzreihe \(\alpha (E+ S_1+S_1^2 + \cdots)\) konvergiert und somit eine beschränkte Reziproke von \(S\) darstellt.