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Untersuchung und Integration der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung des elliptischen Typus. (Russian) JFM 39.0431.02

Charkow. II + 164 S. (Sonderabdruck aus Charkow Ges. (2) 11, 1-164) (1908).
Die Arbeit, zugleich Magisterdissertation, bildet eine Entwicklung und Weiterführung der Abhandlungen desselben Verf., welche in Math. Ann. 59, 60, 62 erschienen sind (vgl. F. d. M. 35, 354, 1904, JFM 35.0354.01; 36, 672, 1905, JFM 36.0672.01; 37, 383, 1906, JFM 37.0383.01). Nach elf Seiten über die Darstellung des Entwicklungsganges der Theorie der analytischen Funktionen beschäftigt sich der Verf. in dem ersten Teile seiner Arbeit mit der analytischen Natur der Lösungen der partiellen Differentialgleichungen des genannten Typus. Außer den in seiner Bearbeitung wiedergegebenen Resultaten der erwähnten Arbeiten von 1904 und 1905 ist hier die Theorie der Normalreihen dargestellt, welche die Grundlage der betreffenden Untersuchungen bildet; unter anderem wird dabei bewiesen, daß jede Funktion einer reellen Veränderlichen, welche eine endliche und stetige Derivierte besitzt, in eine Normalreihe entwickelbar ist. Außer dem früheren, fast ungeänderten Beweise des Grundsatzes über den analytischen Charakter der Lösungen der Differentialgleichungen vom elliptischen Typus wird der zweite, auf der Theorie der Normalreihen beruhende Beweis gegeben. Es ist aber dem Verf. nicht gelungen, im allgemeinen Falle von der Voraussetzung sich loszumachen, daß die Lösung eine Ableitung dritter Ordnung besitzt.
Der zweite Teil ist der systematischen Anwendung an das Problem von Dirichlet der in der Abhandlung von 1906 kurz dargestellten (parametrischen) Methode gewidmet. Die Methode wird wesentlich umgearbeitet. Die wichtigsten allgemeinen Resultate sind folgende: Damit die Gleichung des elliptischen Typus \((1) Ar + 2Bs + Ct = D,\) wo \(A, B, C, D\) analytische Funktionen von \(x, y, p, q\) bedeuten \((D\) kann auch \(z\) enthalten, falls \(AD' z \geqq 0),\) die Lösung des Dirichletschen Problems zulasse, genügt es, mit Hülfe der Anfangsbedingungen die obere Grenze der Werte der Moduln der angenommenen Lösung und ihrer Ableitungen erster Ordnung festsetzen zu können. Als Anfangsbedingungen erscheinen die gegebenen Werte auf einer Randkurve, über deren Natur und Werte selbst gewisse sehr allgemeine Voraussetzungen angenommen sind. Das Dirichletsche Problem ist ferner immer möglich, wenn \(D'z > 0\) und die Zunahme von \(D\) für \(p\) und \(q\) nicht höher als zweiter Ordnung ist, indem \(A-\frac{B^2}{C} >0, C-\frac{B^2}{A} > 0.\) Damit die allgemeine Gleichung des elliptischen Typus \((2) F(r, s, t, p, q, z, x, y) = 0\) \((F_r', F_t' \leqq 0) \) die Lösung des Dirichletschen Problems im Innern einer gewissen Randkurve \(C\) zulasse, ist die Möglichkeit hinreichend, a priori mit Hülfe der Bedingungen auf der Randkurve die obere Grenze der Moduln der angenommenen Lösung und ihrer Ableitungen der ersten zwei Ordnungen festzusetzen, und überdies die Forderung, daß die Gleichung (2) wenigstens eine reguläre, im ganzen Innern von \(C\) existierende Lösung besitze. (Wird die Bedingung \( 4F_r' F_t' - (F_s')^2 > 0 \) nicht identisch erfüllt, so kann das Problem mehrere Lösungen besitzen). Im besonderen, damit die Lösung \(z\) der linearen Gleich \(r + t + ap + bq + cz = d\) (wo \(a, b, c, d \) ganze Funktionen von \(x, y\) bedeuten) selbst eine ganze Funktion der Veränderlichen \(x, y\) sei, ist es notwendig und hinreichend, daß die sich auf irgend einem bestimmten Kreise, in dessen Innern sie keine Singularitäten besitzt, in eine ganze Funktion des Bogens verwandele. Als Beispiele sind einige geometrische Aufgaben behandelt; insbesondere ist die Möglichkeit nachgewiesen, eine Minimalfläche durch eine geschlossene analytische Randkurve zu legen, ebenso auch unendlich viele Flächen konstanter Gaußschen Krümmung durch eine Randkurve, deren Projektion auf eine gewisse Ebene ein Kreis ist.