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The properties of curves in space which minimize a definite integral. (English) JFM 39.0441.01
Die Verf. stellen sich die Aufgabe, das räumliche Variationsproblem in Parameterdarstellung \(\int F(x, y, z, x', y', z') \,dt\) nach den Weierstraßschen Methoden zu behandeln, und zwar unter Vermeidung der zweiten Variation. Zunächst folgt aus der Homogeneitätseigenschaft von \(F\) die Existenz eines Ausdruckes \(F_1\), für den: \[ \begin{split} x'^2 F_1 = F_{y'y'} F_{z'z'} - F_{y'z'}^2; \quad y'^2F_1 = F_{z'z'} F_{x'x'} - F_{z'x'}^2;\\ x'^2 F_1 = F_{x'x'} F_{y'y'} - F_{x'y'}^2; \quad y'z' F_1 = F_{x'y'} F_{x'z'} - F_{x'x'}F_{y'z'};\\ z'x' F_1 = F_{y'z'} F_{y'x'} - F_{y'y'}F_{z'x'}; \quad x'y'F_1 = F_{z'x'} F_{z'y'} - F_{z'z'}F_{x'y'}.\end{split} \] Die Eulerschen Gleichungen werden nach der Methode von du Bois-Reymond hergeleitet. Singulär für sie sind diejenigen Elemente, für welche \(F_1 = 0\). Es wird die Voraussetzung gemacht: \(F_1\neq 0\) für alle Elemente (reguläre Probleme). Nach Herleitung der Transversalitätsbedingungen werden zuerst die Probleme behandelt, bei welchen Anfangs- und Endpunkt vorgeschrieben sind, oder der Anfangspunkt auf einer Fläche variieren kann: Die notwendige Bedingung Jacobis wird nach der Kneserschen Methode gewonnen, wobei jedoch gewisse Fälle unerledigt bleiben. Es folgt die Herleitung der Weierstraßschen und daraus die der Legendreschen notwendigen Bedingung. Letztere wird auch auf die Form gebracht: Für das Eintreten eines Extremums ist notwendig, daß \(F_1 > 0\) sei entlang des Extremalenbogens; ferner müssen die drei Ausdrücke \(F_{x'x'}, F_{y'y'}, F_{z'z'}\) (die nur für die Richtung der entsprechenden Koordinatenachse verschwinden) positiv sein im Falle des Minimums, negativ im Falle des Maximums. Daß die bekannten Bedingungen hinreichend sind, wird auf Grund des Unabhängigkeitssatzes bewiesen. Sodann wird das bisher noch nicht behandelte Problem, daß der Anfangspunkt auf einer Kurve \(C\) variieren kann, in analoger Weise durchbesprochen. Die hinreichenden Bedingungen werden mit Hülfe der zweiparametrigen, zu \(C\) transversalen Extremalenschar bewiesen. Auf die Eigenschaft dieser Extremalenschar, ein Feld zu bilden, wollen die Verf. in einer weiteren Publikation zurückkommen.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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