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On the inverse problem of the calculus of variations. (English) JFM 39.0445.01
In einer früheren Abhandlung (F. d. M. 38, 408, 1907, JFM 38.0408.01) hat der Verf. das einfachste Problem der Variationsrechnung in der folgenden Gestalt betrachtet: ein Integral der Form: \(J =\int f(x, y,\tau) ds\) zu einem Minimum zu machen, wo \(ds\) das Bogenelement der Kurve bedeutet, über die das Integral zu erstrecken ist, \(\tau\) den Winkel, den die Kurventangente mit der \(x\)-Achse bildet. Die Eulersche Gleichung hat die Form: \[ (1)\quad f_x \sin \tau - f_y \cos \tau + f_{x\tau} \cos \tau +f_{y\tau} \sin \tau +(f+f_{\tau\tau})\tau_s =0 \] (wo die als Indizes angehängten Variabeln bedeuten, daß nach diesen Variabeln zu differenzieren ist). Einer Gleichung der Form (1) genügt eine zweiparametrige Kurvenschar, die Extremalen von \(J.\) Ist umgekehrt eine zweiparametrige Kurvenschar gegeben: \[ (2) \qquad x=x(t;u,v)\quad y=y(t;u,v), \] so genügt sie einer Gleichung \(\tau_s = \varphi(x, y, \tau),\) und es wird nun die Aufgabe behandet, die Funktion \(f (x, y, \tau)\) so zu bestimmen, daß die Kurven (2) gerade die Extremalen von \(J\) werden. Zunächst ergibt sich für \(f\) die partielle Differentialgleichung: \[ f_x \sin \tau - f_y \cos \tau + f_{x\tau} \cos \tau +f_{y\tau} \sin \tau +(f+f_{\tau\tau})\varphi =0. \] Führt man als neue Unbekannte \(M = f+ f_{\tau\tau},\) als neue unabhängige Veränderliche die Parameter \(t, u, v\) von (2) ein, so ergibt sich ohne weiteres: \[ (3) \qquad M= G(u,v) e^{-\smallint \varphi_\tau \sqrt{x_t^2 + y_t^2}dt}, \] wo \(G\) eine willkürliche Funktion, und daraus weiter \(f\) in der Form: \[ f = \int_0^\tau \sin (\tau -\lambda) M (x, y, \lambda)d\lambda + \left( A_0 +\frac {\partial \vartheta}{\partial x} \right) \cos \tau + \left(B_0 +\frac {\partial \vartheta}{\partial y}\right) \sin \tau. \] Dabei bedeutet \(M(x, y, \tau)\) die Funktion, die aus (3) wird, wenn man für \(t, u, v\) wieder \(x, y, \tau\) einführt, \(\vartheta(x, y)\) eine willkürliche Funktion, \(A_0(x, y)\) und \(B_0(x, y)\) irgend ein Paar Partikularlösungen der Gleichung: \[ \frac {\partial A}{\partial y} - \frac {\partial B}{\partial x}=\varphi (x,y,0) M (x,y,0). \] Der Ausdruck für \(f\) enthält also die zwei willkürlichen Funktionen \(G\) und \(\vartheta\). Die willkürliche Funktion \(G\) ist eindeutig festgelegt, wenn der Wert von \(M = f + f_{\tau\tau}\) in den Punkten einer geschlossenen Kurve der \(xy\)-Ebene für alle Werte von \(\tau\) gegeben ist. Was die Funktion \(\vartheta\) anlangt, so ist sie, wenn zu irgend einer einparametrigen Kurvenschar die Schar der sie transversal schneidenden Kurven \(w (x, y) = const.\) vorgegeben ist, eindeutig festgelegt, bis auf eine additiv hinzutretende willkürliche Funktion von \(w\), und sie ist mithin gänzlich festgelegt, wenn \(f\) gegeben ist für die Elemente \(x, y, \tau\) einer die sämtlichen Kurven \(w (x, y)\) = const. schneidenden Kurve. – Als Integrand des allgemeinsten Integrales \(J,\) dessen Extremalen die Geraden der Ebene sind, ergibt sich so: \[ f= \int_0^\tau \sin (\tau - \lambda) G(x \sin \lambda - y \cos \lambda,\lambda)d\lambda +\frac {\partial \vartheta}{\partial x} \cos \tau + \frac {\partial \vartheta}{\partial y} \sin \tau, \] wo die beiden Funktionen \(G\) und \(\vartheta\) willkürlich sind. Soll 1. \(f + f_{\tau\tau}\) in allen Punkten eines Kreises, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, für alle \(\tau\) den Wert 1 haben, sollen 2. die Geraden \(x\) = const. die Transversalen der Schar \(y\) = const. sein, soll 3. in allen Elementen der \(x\)-Achse \(f\) den Wert 1 haben, so ist notwendig \(f\) identisch gleich 1. – Ferner ergibt sich das Bogenelement der allgemeinsten Fläche, die eine, geodätische Abbildung auf die Ebene gestattet, in der Form \(\frac{\sqrt{\varPhi (u, dx, dy)}}{AC-B^2}\) wo \(x, y\) die Parameter der Fläche, \(\varPhi \) eine beliebige homogene Funktion zweiten Grades der drei Veränderlichen \(u = xdy - ydx, dx, dy\) bedeutet, und \(A, B, C\) definiert sind durch: \[ \varPhi (u, dx, dy) = A dx^2 + 2 B dx dy + C dy^2. \]

MSC:
49N45 Inverse problems in optimal control
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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