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Sur une fonction continue sans dérivée. (French) JFM 39.0453.02

Die dyadische Darstellung einer Zahl \(x\) zwischen 0 und 1 besteht im Grunde darin, daß man bei fortgesetzter Teilung des Intervalls (0, 1) in \(2, 2^2, 2^3\) gleiche Teile jedesmal angibt, ob \(x\) jeweils in der linken oder rechten Hälfte seines Intervalls liegt; der erste Fall gibt jedesmal zu einer 0, der zweite zu einer 1 im dyadischen Bruch für \(x\) Veranlassung. Bei dieser Darstellung ist es nun durchaus unwesentlich, daß man immer in zwei gleiche Teile teilt; man könnte z. B. auch den Teil links zum Teil rechts sich immer verhalten lassen wie \(a : a'.\) Auch jetzt entspricht jeder Zahl \(z\) des Intervalls (0, 1) eine bestimmte Folge von Nullen und Einsen und umgekehrt. Bei einer zweiten Wahl des Verhältnisses \(a : a'\) entspricht der gleichen Folge eine von \(x\) verschiedene Zahl \(y\).
Der Verf. hat die so entstehende Funktion \(y\) von \(x\) schon früher (Ens. math. 8, 361; F. d. M. 37, 413, 1906, JFM 37.0413.01) untersucht und gezeigt, daß sie für unendlich viele Stellen \(z\) keinen Differentialquotienten hat. Diesmal will er zeigen, daß sie höchstens an Ausnahmestellen einen Differentialquotienten besitzt. Tatsächlich wäre es korrekter, das Gegenteil zu behaupten, daß sie nämlich nur an Ausnahmestellen keinen Differentialquotienten besitzt; die Funktion ist nämlich stetig und monoton, also bis auf Stellen, die eine Menge vom Maße 0 bilden, differenzierbar.

Citations:

JFM 37.0413.01
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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML