Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. (German) JFM 39.0461.01

Plemelj, J.

Monatsh. Math. Phys. 19, 211-245 (1908).

Nachdem Poincaré (1885) die Gesamtheit der linearen Differentialgleichungen betrachtet hatte, denen die Verzweigungspunkte nebst den zugehörigen Fundamentalsubstitutionen gemeinsam sind, und dadurch zu dem den Riemannschen Klassenbegriff umfassenden Artbegriff gelangt war, haben F. Klein (1895) und E. Ritter (1896) die Möglichkeit erwähnt, die Existenz der von Riemann in dem Fragment über lineare Differentialgleichungen postulierten Funktionssysteme mittels der Poincaréschen fonctions zetafuchsiennes zu beweisen; freilich wird durch dieses Beweisverfahren eine Einschränkung herbeigeführt, da die Poincaréschen Reihen nur unter gewissen Voraussetzungen über die Fundamentalsubstitutionen konvergieren. Zu derselben Zeit hatte L. Schlesinger, angeregt durch die Untersuchungen von L. Fuchs über lineare Differentialgleichungen, deren Substitutionsgruppe einen in den Koeffizienten auftretenden Parameter nicht enthält, sich die Aufgabe gestellt, den Existenzbeweis für die von Riemann postulierten Funktionssysteme zu erbringen, die Konsequenzen zu verfolgen, die sich aus Riemanns Problemstellung für die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen ergeben, endlich die Andeutungen zu enträtseln und auf ihren Wahrheitsgehalt zu prüfen, die Riemann an der von ihm in seinem Manuskript als “nicht richtig” bezeichneten, in der Edition klein gedruckten Stelle des Fragments ausspricht. Auf Grund des von ihm mittels der Poincaréschen Zetafunktionen, also unter Festhaltung jener einschränkenden Konvergenzbedingungen durchgeführten Existenzbeweises, gelang ihm (1898) im engsten Anschlußan Riemann die Herstellung eines innerhalb der Klasse eindeutig bestimmten Funktionssystems mit der Minimalanzahl außerwesentlich singulärer Stellen und die vollständige Erledigung der Frage nach dem analytischcn Charakter der Abhängigkeit dieses Funktionssystems von den unabhängig veränderlich gedachten Verzweigungspunkten.
Erst das Jahr 1904 brachte Fortschritte in der Frage nach einem Existenzbeweise für den Fall allgemeiner, den Konvergenzbedingungen nicht genügender Fundamentalsubstitutionen. In derselben denkwürdigen Sitzung des Heidelberger Internationalen Mathematiker-Kongresses erbrachte Hilbert für den besonderen Fall \(n = 2\) den allgemeinen Beweis mittels der von ihm entwickelten Methoden aus der Lehre von den Integralgleichungen (F. d. M. 36, 438, 1905, JFM 36.0438.04) und Schlesinger (F. d. M. 36, 381-383, 1905, JFM 36.0381.02, JFM 36.0382.01 u. JFM 36.0383.01) gab dem Problem für beliebiges \(n\) eine neue Wendung, indem er den Gedanken aussprach, man solle an die Stelle der Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung vom Fuchsschen Typus ein schlechthin kanonisches System von \(n\) Differentialgleichungen erster Ordnung treten lassen. Im Sinne Riemanns besteht dieser Gedanke in folgendem. Die Funktionssysteme mit gegebenen singulären Punkten und gegebenen Fundamentalsubstitutionen (ohne Unbestimmtheitsstellen) sind linear noch von gewissen willkürlichen Konstanten abhängig. Riemann fixierte nun die Exponenten so, daß nur ein konstanter, willkürlicher Faktor übrig bleibt, während jetzt \(n\) willkürliche Konstanten eintreten, wodurch mit einem Schlage die durch die außerwesentlich singulären Punkte (Nebenpunkte nach Klein) bedingten Schwierigkeiten wegfallen, weil die Anzahl der in den Koeffizienten des schlechthin kanonischen Systems auftretenden Konstanten, der Residuen \(A_{ki}^{(\nu)},\) mit der Anzahl der Elemente der Fundamentalsubstitutionen \(A_{ki}^{(\nu)}\) übereinstimmt.
Auf diesen neuen Gedanken gründete Schlesinger die Anwendung der Klein-Poincaréschen “méthode de continuité” zum allgemeinen Beweise der Existenz Riemannscher Funktionenscharen. Wenn es auch richtig sein sollte, daß, wie Plemelj ohne ein Wort der Begründung hinstellt, diese “Methode nicht zum Ziel führt”, so würde doch Schlesingers Wendung einen dauernden Wert für die Lösung des Riemannschen Problems behalten, da die von Plemelj durchgeführte Übertragung der von Hilbert für den besonderen Fall \(n = 2\) angewandten Methode der Integralgleichungen auf beliebiges \(n\) nur durch die neue Fassung des Problems möglich geworden ist; an jene Äußerung hat sich übrigens eine Polemik geknüpft, über die in dem nächsten Bande zu berichten sein wird.
Plemeljs Leistung besteht aber nicht allein in der Ausdehnung des Existenzbeweises auf beliebiges \(n,\) vielmehr hat er auch den Beweis selbst wesentlich vereinfacht, da er, im Gegensatz zu Hilbert, ohne irgend welche Greensche Funktion auskommt und ausschließlich elementare Hülfsmittel aus der Lehre von den Funktionen einer komplexen Veränderlichen heranzieht; überdies wird auch durch sein Verfahren die Frage nach der Anzahl der unabhängigen Lösungen, die durch Hilberts Methode direkt nicht erledigt wird, ohne Schwierigkeit zugänglich.
Den Ausgangspunkt der Untersuchungen Plemeljs bildet das funktionentheoretische Problem Riemanns: Es sind \(n\) regulär-analytische Funktionen des Außengebietes und \(n\) Funktionen derselben Beschaffenheit des Innengebietes einer geschlossenen, sich selbst nicht schneidenden Kurve zu bestimmen, sodaß in jedem Punkte \(z\) der Randkurve zwischen den Randwerten \(f_1^-(z),\;f_2^-(z), \dots, f_n^- (z) \) der Außenfunktionen und den Randwerten \(f_1^+(z),\;f_2^+(z), \dots, f_n^+ (z) \) der Innenfunktionen lineare umkehrbare Beziehungen der Form \[ (1) \quad \begin{cases} f_k^- (z) = a_{k1} (z) f_1^+ (z) + a_{k2} (z) f_2^+ (z) + \cdots + a_{kn}(z) f_n^+ (z),\\ f_k^+ (z) = a_{k1}' (z) f_1^- (z) + a_{k2}' (z) f_2^- (z) + \cdots + a_{kn}'(z) f_n^- (z)\end{cases} \quad (k=1,2,\dots,n) \] bestehen; dabei ist das zweite System von Relationen die Umkehrung des ersten. Bei dem Problem, wie es Riemann gestellt hat, sind die Koeffizienten \(a_{kl} (z)\) längs der ganzen Kurve abteilungsweise gegebene Systeme von Konstanten. Hier werden jedoch diese Koeffizienten zunächst durch die Voraussetzung der Stetigkeit beschränkt und überdies als einmal differenzierbar angenommen; erst nach Erledigung des so definierten Problems wird gezeigt, wie aus seiner Lösung die Lösung des ursprünglichen Riemannschen Problems gewonnen werden kann.
Es wird noch vorausgesetzt, daß die Randkurve \(C\) im Endlichen liegt und überall eine Normale besitzt. Von den gesuchten Funktionen wird Regularität im Außen-, bzw. Innengebiet und stetiger Anschlußan stetige Randwerte vorausgesetzt; die Außenfunktionen, deren Randwerte \(f_1^-(z),\;f_2^-(z), \dots, f_n^- (z) \) sind, sollen im Unendlichen die Werte \(c_1, c_2, \dots, c_n\) annehmen. Dann gelten, vgl. das vorhergehende Referat (JFM 39.0460.01), die Gleichungen: \[ (2) \quad \begin{cases} 0 = + f_k^- (z) +\frac 1{\pi i}\int_{(C )} \frac{f_k^- (\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta - 2c_k,\\ 0 = - f_k^+ (z) +\frac 1{\pi i}\int_{(C )} \frac{f_k^+ (\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta\end{cases} \quad (k=1,2, \dots, n) \] die beiden Integrale, die im gewöhnlichen Sinne keine Bedeutung haben, da \(z\) und \(\zeta\) Randpunkte sind, bezeichnen die im vorhergehenden Referate angegebenen Grenzwerte. Jedoch erhält man aus den Gleichungen (2) durch Elimination der Randfunktionen \(f_k^+ (z)\) mittels der Gleichungen (1) ein System von Gleichungen, in denen die Integrale im gewöhnlichen Sinne eine Bedeutung haben. Wird nämlich zur Abkürzung \[ (3)\quad a_{k1} (z) a_{1l}' (\zeta) + a_{k2}(z) a_{2l}' (\zeta)+\cdots \cdot+ a_{kn} (z) a_{nl}' (\zeta) = A_{kl} (z,\zeta) \] gesetzt, so gelten die Relationen \((\delta_{kl} = 1\) für \(k = l,\;\delta_{kl} = 0\) für \(k \neq l):\) \[ (4)\quad c_k = f_k^- \frac 1{2\pi i} \int_{(C )} \sum_{l=1}^n A_{kl} (z,\zeta) [f_l^- (z) - \delta_{kl}]\frac{d\zeta}{\zeta-z}. \] Die Gleichungen (4) lassen sich aber nach einem von Fredholm herrühreuden Verfahren in eine einzige Integralgleichung zusammenfassen, die sich auf die Form \[ (5) \qquad c(z) =f(z) + \int K(z, \zeta) f(\zeta) d\zeta \] bringen läßt. Die Gleichung (5) ist stets dann, und zwar in eindeutiger Weise, lösbar; wenn sie in ihrer homogenen Form, das heißt für \(c (z) = 0,\) keine Lösung besitzt; tritt jedoch der Ausnahmefall ein, so gibt es nur dann Lösungen von (5), wenn die gegebene Funktion \(c(z)\) gewissen Bedingungen genügt; vgl. F. d. M. 34, 422, 1903 (JFM 34.0422.02) und 35, 775, 1904 (JFM 35.0775.01). Es zeigt sich jetzt, daß es stets, wenigstens wenn man den gesuchten Funktionen irgendwo, etwa im Unendlichen, ein polares Unendlichwerden gestattet, genau \(n\) linear unabhängige Lösungen des verallgemeinerten Riemannschen Problems (1) gibt, durch die jede andere Lösung in einfachster Weise ausdrückbar ist. Unter den unendlich vielen Fundamentalsystemen gibt es nämlich stets ein solches, mittels dessen jede weitere Lösung des Problems, wofern sie im Endlichen überall endlich und außerhalb der Randkurve regulär ist, derart linear darstellen läßt, daß die Koeffizienten ganze rationale Funktionen von \(z\) sind.
In seiner ursprünglichen Form verlangt das Riemannsche Problem die Bestimmung eines Systems von \(n\) Funktionen \(y_1 (z), y_2(z), \dots, y_n(z),\) die bei analytischer Fortsetzung um die gegebenen singulären Punkte \(a_1, a_2, \dots, a_m\) in lineare Funktionen ihrer selbst übergehen und zwar mit gegebenen konstanten Substitutionskoeffizienten, sich im übrigen eindeutig verhalten und nirgends von unendlich hoher Ordnung unendlich werden. Um für diese Funktionen einen Bereich zu erhalten, in dem sie eindeutig verlaufen, hat Riemann dem Problem folgende zweite Fassung, gegeben. Durch die singulären Punkte wird eine geschlossene, sich nicht schneidende Kurve gelegt, und darauf werden \(n\) Funktionen \(y_1^+(z),\;y_2^+(z), \dots, y_n^+ (z) \) im Innengebiete und \(n\) Funktionen \(y_1^-(z),\;y_2^-(z), \dots, y_n^- (z) \) im Außengebiete derart definiert, daß zwischen den Außenrandwerten und den Innenrandwerten in gegenüberliegenden Uferpunkten der Kurve die linear umkehrbaren Relationen \[ (6) \quad y_k^- = c_{k1} y_1^+ + c_{k2} y_2^+ +\cdots+ c_{kn}y_n^+ \quad (k = 1, 2,\dots, n) \] bestehen; dabei sind die Koeffizienten \(c_{kl}\) längs eines Kurvenstücks, das nur je zwei aufeinander folgende singuläre Punkte \(a_{\mu -1}, a_{\mu}\) verbindet, je ein System von gegebenen Konstanten. Das System der derart bestimmten \(n\) Funktionen \((y_k^- (z))\) hat die Eigenschaft, bei analytischen Fortsetzungen auf geschlossenen, je einen singulären Punkt einschließenden Wegen in lineare Verbindungen der ursprünglichen Funktionen überzugehen; die Gesamtheit der hieraus entspringenden Umlaufssubstitutionen heißt die Monodromiegruppe der Funktionen \((y_k^- (z)).\)
Um die vorher gewonnenen Existenzsätze auf das Riemannsche Problem in seiner zweiten Form anzuwenden, hat msn dieses, wie es bei Randwertaufgaben häufig geschieht, mit Hülfe bekannter Funktionen geeigneter Unstetigkeit umzuformen. Hierzu bieten sich die sogenannten kanonischen Funktionen \((\eta_{k}(z))\) dar, die beim Umlauf um einen singulären Punkt nur einen konstanten Faktor aufnehmen. Die Funktion \(\eta_{k}(z),\) welche für die singuläre Stelle \(a_{\mu}\) den in bekannter Weise aus den Koeffizienten der zugehörigen Umlaufssubstitution zu bestimmenden Verzweigungsfaktor \(e^{2\pi i \varrho_k^{(\mu)}}\) besitze, hat (im Falle einfacher Wurzeln der determinierenden Gleichung) an der Stelle \(a_{\mu}\) die analytische Form \[ \eta_k (z) = \left( \frac{z-a_\mu}{z-a_{\mu-1}}\right)^{\varrho_k^{(\mu)}} {\mathfrak P} (z-a_\mu), \] wo der zweite Faktor eine gewöhnliche Potenzreihe bedeutet. Durch die kanonischen Funktionen \((\eta_{k}(z))\) lassen sich sowohl die Außenfunktionen \((y_k^- (z))\) als auch die Innenfunktionen \((y_k^+ (z))\) linear umkehrbar ausdrücken, und hieraus ergeben sich bei geeigneter Wahl der ganzen Zahlen in den Verzweigungsexponenten \((\varrho_k^{(\mu)},)\) über die man noch freie Verfügung hat, für die \((y_k^- (z))\) und \((y_k^+ (z))\) Darstellungen der Form \[ (7) \quad \begin{cases} y_k^- (z) = A_{k1} (z) f_1^- (z) +A_{k2} (z) f_2^- (z) +\cdots+ A_{kn}(z) f_n^- (z),\\ y_k^+ (z) = B_{k1} (z) f_1^+ (z) +B_{k2} (z) f_2^+ (z) +\cdots+ B_{kn}(z) f_n^+ (z),\end{cases} \] in denen \[ (8) \quad\begin{cases} A_{kl} = \sum_{\mu=1}^m a_{kl}^{(\mu)}\left( \frac {z^- - a_\mu}{z^- - a_{\mu-1}}\right)^{\varrho_k^{(\mu)}},\\ B_{kl} = \sum_{\mu=1}^m b_{kl}^{(\mu)}\left( \frac {z^+ - a_\mu}{z^+ - a_{\mu-1}}\right)^{\varrho_k^{(\mu)}}\end{cases} \] zu setzen ist. Hieraus folgen endlich für die \((y_k^- (z))\) Gleichungen der Form (1), in denen die Koeffizienten \(a_{kl}(z)\) überall auf der Kurve \(K\) stetig und einmal differenzierbar sind, womit der Anschluß an die früheren Entwicklungen gewonnen ist.
Nachdem die Lösbarkeit des Riemannschen Problems dargetan ist, wird wiederum untersucht, wie man das Fundamentalsystem möglichst einfach gestalten kann, und es gelingt, ein “primitives” Fundamentalsystem aufzustellen, welches außerhalb der Verzweigungsstellen keinen Punkt der Ebene auszeichnet; durch dieses Fundamentalsystem läßt sich jede im Endlichen außerhalb der Verzweigungspunkte reguläre Lösung in einfacher Weise mit in \(z\) rationalen Koeffizienten darstellen. Endlich wird auch das System linearer Differentialgleichungen angegeben, dessen Lösung das primitive Fundamentalsystem bildet; die Koeffizienten des Systems enthalten höchstens \((m-1) \cdot n^2\) von einander unabhängige Konstanten, genau die gleiche Zahl, wie die der unabhängigen Parameter der Monodromiegruppe.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Karlsruhe)

MSC:

30-XX

Functions of a complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 36.0438.04; JFM 36.0381.02; JFM 36.0382.01; JFM 36.0383.01; JFM 39.0460.01; JFM 34.0422.02; JFM 35.0775.01

References:

[1]	Schlesinger, Handb. d. lin. Diffgl. II 2, S. 386 ff.
[2]	Göttinger Nachrichten 1905, S. 307 ff. Ein vorausgegangener Versuch seines Schülers Kellog (Math. Ann. 60) mit ähnlichem Bestreben ist völlig mißglückt.