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Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propriétés de fonctions monogènes dans le voisinage d’un point singulier. (French) JFM 39.0465.01
Das einfache Prinzip, von dem die Verf. ausgehen, ist folgendes. Ist \(f (x)\) eine analytische Funktion, \(|f (x)|\) eindeutig innerhalb eines Bereiches \(T,\) und ist, sobald sich \(x\) innerhalb \(T\) einem beliebigen Begrenzungspunkt \(\xi\) von \(T\) unbegrenzt nähert, \[ (1) \qquad \overline {\lim_{\overline {x=\xi}}} |f(x)| \leqq C, \] dann ist auch innerhalb \(T\) \[ (2)\qquad f(x)\leqq C. \]
Die bedeutende Verallgemeinerung dieses Prinzips besteht darin, daß, wie die Verf. zeigen, die Ungleichung (2) unter bedeutend allgemeineren Voraussetzungen als der durch (1) gegebenen bestehen bleibt, z. B. wenn für jedes \(\sigma>0\) \[ \overline {\lim_{\overline {x=\xi}}} |\omega^\sigma (x) f(x)| \leqq C \] ausfällt, für eine passend gewählte Funktion \(\omega(x),\) die innerhalb \(T\) dem absoluten Betrage nach \(\leqq 1\) bleibt.
Durch Anwendung dieses Prinzips auf einen Bereich \(T,\) der von 2 Halbgeraden begrenzt wird, gelangen die Verf. unter anderem zu folgendem Satz über ganze Funktionen:
Die Ordnung einer ganzen transzendenten Funktion \(f (x)\) ist sicher \(> \sigma\), sobald auf zwei Halbgeraden, die einen Winkel \(< \frac {\pi}\varrho\) mit einander bilden, \(|f (x)|\) unterhalb einer endlichen Grenze bleibt.
Endlich machen die Verf. wichtige Anwendungen ihres Prinzips auf das Verhalten von Funktionen an einer singulären (eventuell Verzweigungs-)Stelle, die sie nach dem Punkt \(\infty\) verlegen, und für die wenigstens innerhalb des von zwei Halbgeraden gebildeten Winkels \(\displaystyle \overline{\lim}_{|x| = \infty} \frac {\text{lg} |f(x)|}{|x|^{\varrho +\varepsilon}} = 0\) ausfällt (singuläre Stellen “endlicher Ordnung”). Über die in dieser Richtung erhaltenen Resultate läßt sich nicht berichten, ohne auf Einzelheiten einzugehen.

MSC:
30A05 Monogenic and polygenic functions of one complex variable
MathOverflow Questions:
Early two-author math papers
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Full Text: DOI
References:
[1] E. Phragmén,Sur une extension d’un théorème classique de la théorie des fonctions, Acta mathematica t. 28, p. 351–368. · JFM 35.0404.01
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