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Oscillating successions of continuous functions. (English) JFM 39.0467.06

In der Einleitung zu der ersten Abhandlung (JFM 39.0467.05) äußert sich der Verf. über den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz a) in einem Intervall, b) in einem Punkt und betont in historischer Hinsicht bezüglich des letzteren Begriffs, daß er ihn gelegentlich aufgestellt habe, und daß er nicht wisse, wo er sich zuerst finde. Er zitiert u. a. einige allerdings sehr unglücklich gefaßte Stellen der Townsendschen Dissertation (Göttingen 1900), um daran die Folgerung zu knüpfen, man habe damals in Göttingen eine scharfe Formulierung der gleichmäßigen Konvergenz an einer Stelle nicht besessen. Abgesehen davon, daß dieser Induktionsschlußallzu kühn ist und z. B. bei Anwendung auf andere Dissertationen zu sehr sonderbaren Ansichten führen könnte, möchte ich, zumal neuerdings auch F. Rieß glaubt, jenen Begriff entdeckt zu haben (Referat unten S. 471), darauf aufmerksam machen, daß die gleichmäßige Konvergenz an einer Stelle und in einem Intervall mindestens schon 1880 von Weierstraßscharf unterschieden wurde (Werke 2, 203; vgl. auch Pringsheim in Enzykl. d. math. Wiss. \(II_1,\) 1899, 34, wo sich auch der Verweis auf Weierstraß findet).
In der Abhandlung selbst betrachtet der Verf. neben der eindeutigen, aber nicht notwendig endlichen oder stetigen Funktion \(f(x)\) die schon von Dini und Du Bois-Reymond definierten Werte \(f\underline{(x - 0)}\), \(f \overline {(x - 0)}\), \(f \underline{(x + 0)}\), \(f \overline{(x + 0)}, \) die er mit \(\psi_L, \varphi_L, \psi_R, \varphi_R\) bezeichnet. Ist \(f (x)\) als Grenzwert (der auch ein unendlich großer sein darf) von Funktionen \(f_n(x)\) definiert, so empfiehlt der Verf , noch weitere Werte \(\pi_L, \pi_R, \chi_L, \chi_R\) zu betrachten, die als left- and right-hand peak and chasm functions bezeichnet sind, und von denen \(\pi_L\) z. B folgendermaßen definiert ist: Ist \(M_{n,h}\) die obere Grenze von \(f_n(x)\) im Intervall \((x- h, x),\) so ist \(\pi_L(x) = \lim_{h=0}\overline \lim_{n=\infty} M_{n,h}.\)
Es ist dann stets \(\chi_L \leqq \psi_L \leqq \varphi_L \leqq \pi_L,\) und wenn die \(f_n(x)\) stetig sind, \(\chi_L(x) \leqq f(x)\leqq \pi_L (x).\)
Der Verf. untersucht dann ausführlich, wie sich die Bedingungen der Stetigkeit von \(f (x),\) der gleichmäßigen Konvergenz oder der von ihm eingeführten “gleichmäßigen Divergenz” von \(\lim_{n=\infty} f_n(x)\) usw. durch die eingeführten Funktionen ausdrücken lassen, und wie sich die letzteren zur Untersuchung verschiedener damit zusammenhängender Fragen (z. B. auch der Punktmenge, für die \(\lim_{n=\infty} f(x)\) gleichmäßig konvergiert) verwerten lassen.
Die zweite Abhandlung ist eine Erweiterung und Ergänzung der ersten, besonders insofern, als die in der ersten gesuchte Voraussetzung der Existenz von \(\lim_{n=\infty} f_n(x) =f(x)\) fallen gelassen und dafür \(\overline \lim_{n=\infty} f_n(x) = \overline {f(x)}\) und \(\underline \lim_{n=\infty} f_n(x)\) in die Untersuchung eingeführt werden. Die \(f_n(x)\) seien stetig.
Mehrere in der ersten Abhandlung bewiesenen Sätze erweisen sich als auch unter den erweiterten Voraussetzunen gültig; z. B.: Die Stellen, wo \(\pi_L \neq \pi_R\) ist, sind abzählbar. An jeder Stelle, wo die peak and chasm functions einander gleich sind, sind sie stetig.
Ferner beweist der Verf. Sätze wie den folgenden: \(\overline {f(x)}\) ist “halbstetig nach oben” mit Ausnahme von Stellen, die eine Menge der ersten Kategorie bilden. (Die Halbstetigkeit nach oben von \(\overline{f(x)}\) an einer Stelle \(x'\) ist so definiert: Ist \(\overline{f(x')} = a\) und \(\varepsilon > 0, \) so gibt es eine Umgebung der Stelle \(x',\) wo \(\overline {f(x)} < a + \varepsilon\) ist).
Wie der Begriff der Stetigkeit wird auch der der gleichmäßigen Konvergenz in mehrere gespalten: gleichmäßige Oszillation nach oben und nach unten, wodurch mehrere bekannte Sätze durch Unterscheidung von Unterfällen sich differenzieren lassen.
Der ganzzahlige Index \(n\) kann durch einen kontinuierlichen \(h\) ersetzt werden; schreibt man dann noch für \(f_n(z)\) den Quotienten \(\frac{F(x + h) - F(x)}h,\) so ergeben die Untersuchungen des Verf. Sätze über die vier Derivierten einer stetigen Funktion \(F(x),\) darunter den folgenden: Die Stellen \(x,\) wo \( \left( \overline {\frac{dF(x)}{dx}}\right)_+ - \left( \overline {\frac{dF(x)}{dx}}\right)_- \neq 0\) ist (oder wo \(\left( \underline{\frac{dF(x)}{dx}}\right)_+ - \left(\underline{\frac{dF(x)}{dx}}\right)_- \neq 0\) ist), bilden eine Punktmenge der ersten Kategorie.

Citations:

JFM 39.0467.05
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