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Sur le prolongement analytique d’une fonction méromorphe. (French) JFM 39.0479.04

Ist \(F(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \cdots\) eine meromorphe Funktion mit den einfachen Polen \(a_k\) und den Residuen \(A_k\), \(f(x) = c_0 + c_1 x + c_2x^2 + \cdots\) dagegen eine ganze Funktion, so folgt aus einem früheren Satze Buhls (Darb. Bull. (2) 31, 340-346; F. d. M. 38, 423, 1907, JFM 38.0423.06) für beliebige \(x\) und \(\xi\): \[ (1) \qquad f(x) = \sum_0^\infty \nu\;\frac{c_\nu (a_0 + a_1 x+ \cdots + a_\nu x^\nu)}{f(\xi)} + \sum_1^\infty k\;\frac{f\left(\frac{\xi x}{a_k}\right)}{f(\xi)}\;\frac {xA_k}{a_k (x-a_k)}. \] Buhl beweist nun, daß unter gewissen Voraussetzungen die zweite Summe verschwindet oder vernachläßigt werden kann.
Er zeigt auch in der zweiten Arbeit, wie man sich im Falle mehrfacher Pole helfen kann, und daß unter Umständen \(F'(x)\) durch gliedweise Differentiation der erhaltenen Reihe gebildet werden kann.
Costabel untersucht, wann die Formel (1) auf die erste Summe mit \(\lim \xi = \infty\) reduziert werden kann, und exemplifiziert auf die Funktionen \(f (x) = e^x, e^{x^n}, e^{e^x},\) wobei er früher von Borel gefundene Resultate von neuem ableitet. (Siehe JFM 39.0479.02, JFM 39.0479.03)

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