Sur certaines surfaces algébriques liées aux fonctions abéliennes de genre trois. (French) JFM 39.0525.01

Remy, L.

Journ. de Math. (6) 4, 1-37 (1908).

Mit \(x_1, x_2\) seien zwei Punkte einer ebenen Kurve vierter Ordnung vom Geschlecht \(3, f (x, y) = 0,\) und mit \(G_1(x), G_2(x), G_3(x)\) drei längs ihr erstreckte linear unabhängige Integrale erster Gattung bezeichnet. Definiert man dann drei Veränderliche \(u, v, w\) durch die Gleichungen: \[ u = G_1 (x+1) + G_1(x_2),\;v = G_2(x_1) + G_2(x_2),\;w = G_3(x_1) + G_3(x_2), \] so sind sie durch eine Gleichung \(\vartheta(u, v, w) = 0\) mit einander verknüpft. Man bezeichne nun mit \(\theta_i(u, v, w) (i = 1, 2, 3, 4)\) vier linear unabhängige gerade Thetafunktionen zweiter Ordnung mit der Charakteristik [0], welche für 3 solche Halbperioden verschwinden, für welche außer \(\vartheta(u, v, w)\) noch 5 andere der zusammengeordneten 64 Thetafunktionen Null sind, und setze (für \(i = 1, 2, 3, 4)\) \(x_i = \theta_i (u, v, w).\) Betrachtet man \(x_1, x_2, x_3, x_4\) als homogene Punktkoordinaten des Raumes, so erfüllen sie eine Obertfläche sechster Ordnung \(S\), welche mit der Kurve \(f(x, y) = 0\) in dem Zusammenhange steht, daß jedem Punktepaare \(x_1, x_2\) der Kurve ein Punkt \(u, v, w\) der Oberfläche, jedem Punkte der Oberfläche aber zwei auf einer Geraden liegende Punktepaare der Kurve entsprechen.
In der vorliegenden Abhandlung werden die Eigenschaften der Oberfläche \(S\) eingehend untersucht. Von ihnen mag hier nur hervorgehoben werden, daß \(S\) drei in einem Punkte sich schneidende Doppelgerade und fünf längs einer Kurve dritter Ordnung berührende Tangentialebenen besitzt; Eigenschaften, welche, wie der Verf. zeigt, die Oberfläche \(S\) charakterisieren.

Reviewer: Krazer, Prof. (Karlsruhe)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. C. Hyperelliptische, Abelsche und verwandte Funktionen.