On generalized Legendre functions. (English) JFM 39.0528.02

Barnes, E. W.

Q. J. Mat., Oxf. Ser. 39, 97-204 (1908).

Zur Definition der zugeordneten Kugelfunktionen \(P_n^m (x),\;Q_n^m (x)\) mit beliebigen Indizes \(n, m,\) d. h. der Lösungen der Differentialgleichung \[ (1)\quad (1-x^2)y'' - 2xy' + \left[ n(n+1)- \frac {m^2}{1-x^2}\right]y = 0 \] für beliebige Werte von \(n\) und \(m\) (die Schreibweise weicht von der Heines insofern ab, als dieser den Hauptindex \(n\) oben, den Nebenindex \(m\) unten an \(P\) oder \(Q\) setzt), benutzt der Verf. ein ähnliches Verfahren, wie zur Definition von Differentialquotienten mit beliebigem Index. Zunächst wird gezeigt, daß das Integral \[ I_m (x) = -\frac 1{2\pi i} \left( \frac {x+1}{x-1} \right)^{\frac 12 m} \int \frac {\varGamma (s-n) \varGamma(n+1+s) \varGamma(-s)}{\varGamma(1-m+s)} \left[ \tfrac 12 (x-1)\right]^s ds \] der Gleichung (1) genügt, ebenso \(I_{-m}(x)\). Dabei ist der Integrationsweg parallel der imaginären Achse, erforderlichenfalls mit Schleifen; um zu erreichen, daß alle positiven Folgen von Polen rechts vom Integrationswege liegen, alle negativen links. Mittels dieses Integrals werden die Funktionen \(P_n^m\) und \(Q_n^m\) mit beliebigen komplexen Indizes \(n, m\) für alle Werte von \(x\) definiert außerhalb eines von \(x = -\infty\) bis \(x = + 1\) zu ziehenden Querschnitts, und zwar ist \[ P_n^m (x) = -\frac{\sin (n\pi)}{\pi}\;I_m (x), \;Q_n^m (x) = \tfrac 12 \{ J_m (x) - e^{\mp ni\pi} I_m (x) \}. \] Darin ist \[ J_m (x) = I_m (- x). \] Aus den Definitionen werden verschiedene Folgerungen gezogen, z. B. \[ P_n^m (x) = P_{-(n+1)}^m (x),\;Q_n^m (x) - Q_{-(n+1)}^m (x) = \pi \text{\,cotg\,} (n\pi) P_n^m (x). \] Ferner ergibt sich, falls \(m\) eine positive ganze Zahl ist: \[ P_n^m (x) = (x^2 -1)^{\frac 12 m}\;\frac{d^m P_n (x)}{dx^m}, \text{ wobei } P_n (x) = P_n^0 (x). \] Eine große Reihe von Formeln, insbesondere verschiedene Darstellungen von \(P_n^m\) und \(Q_n^m\) mittels hypergeometrischer Reihen, ergibt sich dadurch, daß man das Integral \(I_m\) länge eines geschlossenen Integrationsweges erstreckt und den Cauchyschen Satz anwendet. Ferner wird das Verhalten jener Funktionen in den singulären Punkten besprochen, und die Ausnahmefälle, in denen \(m\) oder \(n\) oder beide ganze Zahlen sind, werden eingehend diskutiert.
Im zweiten Abschnitt werden die asymptotischen Werte der Funktionen ermittelt, und zwar sowohl für den Fall \(n = \infty\), als für \( m = \infty\), sowie für verschiedene Werte von \(x\).
Im dritten Abschnitt werden zunächst einige Rekursionsformeln auftgestellt sowie folgende Verallgemeinerung des Satzes von Rodrigues: Ist \(n\) beliebig komplex, \(m\) eine positive ganze Zahl, und liegt \(x\) nicht auf dem von \(x = - \infty\) bis \(x = + 1\) reichenden Querschnitt, so ist \[ P_n^{m-n} = \frac{(x^2 -1)^{\frac 12 (m-n)}}{2^n \varGamma (n+1)} \frac {d^m (x^2 -1)^n}{dx^m}\,, \] und eine ähnliche Gleichung gilt für Werte von \(x\) zwischen \(-1\) und + 1, diese Grenzen selbst ausgeschlossen.
Ferner werden die Werte verschiedener bestimmter Integrale ermittelt, so von \[ \int_0^1 P_n^m (x) x^k dx, \;\int_0^1 \frac {P_n^m (x) x^k}{(1-x^2)^l}\;dx, \;\int_{-1}^{+1} (P_n^m (x))^2 (1-x^2)^k dx, \]
\[ \int_C [Q_n^m (x)]^2 dx, \;\int_C Q_n^m (x) P_n^m (x) dx \] (bei den beiden letzten geht der Integrationsweg von 0 bis nahe an den Punkt 1, um diesen herum, dann wieder zurück nach 0, oder auch von 1 bis \(\infty\)).
Auf die sehr zahlreichen Formeln, die der Verf. in den drei Abschnitten ableitet, kann hier nicht näher eingegangen werden; hinsichtlich derselben mußauf die Abhandlung selbst verwiesen werden. Es mag zum Schlußnur noch erwähnt werden, daß nebenbei auch auf die allgemeine Transformation zweiter Ordnung der Riemannschen \(P\)-Funktion eingegangen wird.

Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.)

MSC:

42B10

Fourier and Fourier-Stieltjes transforms and other transforms of Fourier type

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. D. Kugelfuntionen und verwandte Funktionen.