Hadamard, J. Sur l’expression asymptotique de la fonction de Bessel. (French) JFM 39.0532.01 S. M. F. Bull. 36, 77-85 (1908). Während man für die Ableitung der asymptotischen Werte der Zylinderfunktionen sonst die bekannten semikonvergenten Reihen benutzt, wird hier für die Funktionen \(J_0(ix)\) und \(J_0(x)\) gezeigt, wie man jene Näherungswerte mittels konvergenter Reihen ermitteln kann. Die Funktion \(J_0(ix)\) läßt sich für \(x > 0\) durch die stets konvergente Reihe darstellen: \[ J_0(ix)= \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}} \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac{k_n}{(2x)^n} [1-\varepsilon (2x) e^{-2x}] -e^{-2x} \sqrt {2x} X_n\right\}. \] Darin ist \[ k_n = \frac 1{n!} \left[ \tfrac 12 \cdot \tfrac 32 \cdot \tfrac 52 \cdots \tfrac{2n-1}2 \right]^2, \] \(X_n\) ein gewisses Polynom \(n\)-ten Grades von \(\frac1x\), \[ \varepsilon (2x) = \frac 2{\sqrt \pi}\;e^{2x} \int_{\sqrt{2x}}^\infty e^{-u^2} du, \] so daß für große \(x\) annähernd \(\varepsilon (2x) =\frac 1{\sqrt{2\pi x}}\) ist. Es wird die Größe des Fehlers bestimmt; den man begeht, wenn man beim \(n\)-ten Gliede abbricht. Läßt man in der abgebrochenen Reihe die mit \(\varepsilon(2x)\) und \(X_n\) multiplizierten Terme fort, so erhält man den bekannten asymptotischen Ausdruck. Die obige Reihe ergibt sich aus dem Integral für \(J_0(ix)\): \[ J_0 (ix)=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{x\cos \varphi}d\varphi, \] das sich durch die Substitution \(\sin (\frac 12 \varphi) = u\) auf die Form bringen läßt \[ J_0 (ix) = \frac {2e^x}{\pi} \int_0^1 e^{-2u^2 \pi} \frac {du}{\sqrt {1-u^2}}\,, \] falls man 1 : \(\sqrt {1- u^2}\) nach Potenzen von \(u\) entwickelt. Ein ähnliches Resultat wird für \(J_0(x)\) abgeleitet. Die konvergente Reihe lautet hier: \(J_0(x) =\) \[ \sqrt {\frac 2{\pi x}} \left[ \begin{matrix} \sin (\left(x+\frac {\pi}4 \right) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \frac{k_{2n}}{(2x)^{2n}} [ 1-\varepsilon (2x)e^{-2x} ] -e^{-2x} \sqrt {2x} X_{2n}\right\} \\ - \cos \left( x +\frac {\pi}4 \right) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \frac {k_{2n+1}}{(2x)^{2n+1}} [1-\varepsilon (2x)e^{-2x}]- e^{-2x} \sqrt{2x} X_{2n+1} \right\} \end{matrix} \right] + S, \] wo \(S < e^{-2x}\) ist. Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.) Cited in 2 Documents JFM Section:Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. D. Kugelfuntionen und verwandte Funktionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{J. Hadamard}, Bull. Soc. Math. Fr. 36, 77--85 (1908; JFM 39.0532.01) Full Text: DOI Numdam EuDML