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Sur l’expression asymptotique de la fonction de Bessel. (French) JFM 39.0532.01

Während man für die Ableitung der asymptotischen Werte der Zylinderfunktionen sonst die bekannten semikonvergenten Reihen benutzt, wird hier für die Funktionen \(J_0(ix)\) und \(J_0(x)\) gezeigt, wie man jene Näherungswerte mittels konvergenter Reihen ermitteln kann. Die Funktion \(J_0(ix)\) läßt sich für \(x > 0\) durch die stets konvergente Reihe darstellen: \[ J_0(ix)= \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}} \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac{k_n}{(2x)^n} [1-\varepsilon (2x) e^{-2x}] -e^{-2x} \sqrt {2x} X_n\right\}. \] Darin ist \[ k_n = \frac 1{n!} \left[ \tfrac 12 \cdot \tfrac 32 \cdot \tfrac 52 \cdots \tfrac{2n-1}2 \right]^2, \] \(X_n\) ein gewisses Polynom \(n\)-ten Grades von \(\frac1x\), \[ \varepsilon (2x) = \frac 2{\sqrt \pi}\;e^{2x} \int_{\sqrt{2x}}^\infty e^{-u^2} du, \] so daß für große \(x\) annähernd \(\varepsilon (2x) =\frac 1{\sqrt{2\pi x}}\) ist. Es wird die Größe des Fehlers bestimmt; den man begeht, wenn man beim \(n\)-ten Gliede abbricht. Läßt man in der abgebrochenen Reihe die mit \(\varepsilon(2x)\) und \(X_n\) multiplizierten Terme fort, so erhält man den bekannten asymptotischen Ausdruck.
Die obige Reihe ergibt sich aus dem Integral für \(J_0(ix)\): \[ J_0 (ix)=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{x\cos \varphi}d\varphi, \] das sich durch die Substitution \(\sin (\frac 12 \varphi) = u\) auf die Form bringen läßt \[ J_0 (ix) = \frac {2e^x}{\pi} \int_0^1 e^{-2u^2 \pi} \frac {du}{\sqrt {1-u^2}}\,, \] falls man 1 : \(\sqrt {1- u^2}\) nach Potenzen von \(u\) entwickelt.
Ein ähnliches Resultat wird für \(J_0(x)\) abgeleitet. Die konvergente Reihe lautet hier: \(J_0(x) =\) \[ \sqrt {\frac 2{\pi x}} \left[ \begin{matrix} \sin (\left(x+\frac {\pi}4 \right) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \frac{k_{2n}}{(2x)^{2n}} [ 1-\varepsilon (2x)e^{-2x} ] -e^{-2x} \sqrt {2x} X_{2n}\right\} \\ - \cos \left( x +\frac {\pi}4 \right) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \frac {k_{2n+1}}{(2x)^{2n+1}} [1-\varepsilon (2x)e^{-2x}]- e^{-2x} \sqrt{2x} X_{2n+1} \right\} \end{matrix} \right] + S, \] wo \(S < e^{-2x}\) ist.

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Full Text: DOI Numdam EuDML