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Essai de géométrie analytique à une infinité de coordonnées. (French) JFM 39.0536.02
Nouv. Ann. (4) 8, 97-116, 289-317 (1908).
Im Anschluß an die Definition von Hilbert usw. wird der Punkt eines Raumes von unendlich vielen Dimensionen definiert als eine unendliche Reihe von endlichen Zahlenwerten \(x_1, x_2, \dots,\) für die \(\sum_1^\infty{}_i x_i^2\) endlich ist. Führt man noch die Entfernung zweier Punkte \(x\) und \(y\) als \(\sum_1^\infty (x_1 - y_i)^2\) ein, so hat man alles Nötige, um alle geometrischen Dinge zu definieren: es wird zunächst die Gerade und die Anordnung der Punkte auf einer Geraden definiert, und aus der Definition werden Folgerungen gezogen. Die Ebene wird eingeführt als Ort aller Punkte \(x\) von der Eigenschaft, daß es außer \(x\) keinen weiteren Punkt gibt, der von drei gegebenen Punkten je den gleichen Abstand hat wie \(x\). Es muß natürlich gezeigt werden; daß alle solchen Punkte sich durch eine lineare Funktion dreier Parameter darstellen lassen. – Analog wird in der zweiten Abhandlung der dreidimensionale (ebene) Raum eingeführt und von ihm nachgewiesen, daß er alle Eigenschaften des gewöhnlichen euklidischen Raumes hat. Diese Definitionen sind denen von Padea für den gewöhnlichen Raum entwickelten entsprechend. Alle entfernungstreuen Transformationen des allgemeinen Raumes setzen sich aus orthogonalen Transformationen und der allgemeinsten Translation zusammen. Es werden dann Punktmengen in diesem Raum betrachtet und speziell die notwendige und hinreichende Bedingung dafür aufgestellt, daß eine Punktmenge kompakt ist, d. i., daß jeder unendliche Teil derselben mindestens einen Grenzpunkt hat. Daran schließen sich Untersuchungen der (für eine endliche Anzahl Variabler längst bekannten) Funktionalgleichungen, denen die lineare, resp. quadratische Funktion genügt. Es ergeben sich den für endlich viele Variabeln geltenden durchaus analoge Resultate. Zum Schluß wird darauf hingewiesen, wie durch das Theorem von Riesz und Fischer über die Beziehung einer allgemeinen Größenreihe zu der Reihe der Fourierkoeffizienten einer beliebigen Funktion die vom Verf. entwickelten Theoreme unmittelbar für die Funktionentheorie Bedeutung gewinnen.
Reviewer: Dehn, Prof. (Kiel)

Full Text: EuDML