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Sets of metrical hypotheses for geometry. (English) JFM 39.0538.06

Die Grundbegriffe in der vorliegenden Geometrie sind: Punkt, Kongruenz und Ordnung. Sind \(A, B, A', B'\) Punkte, so gelten die Paare \(AB, A'B'\) entweder als kongruent \((AB \equiv A'B')\) oder als nicht kongruent. Sind \(A, B, C\) drei verschiedene Punkte, so können diese “die Ordnung \(ABC\) aufweisen” (they are in the order \(ABC)\); aber es braucht dies nicht der Fall zu sein. Diese Grundbegriffe erhalten nun durch die von ihnen in Form von Axiomen gemachten Aussagen ihren Inhalt. Die Aussage, “A, B, C weisen die Ordnung ABC auf”, wird dann gleichwertig mit der Aussage, daß \(A, B, C\) einer Geraden angehören und \(B\) zwischen \(A\) und \(C\) liegt. Wie man sieht, wird so durch den Ordnungsbegriff eine doppelte Ersparnis in den Grundbegriffen erzielt, indem die Begriffe “Gerade” und “zwischen” aus diesen ausscheiden und definierbar werden. Auf Grund weniger Hypothesen gelingt es, die Begriffe der Gleichheit und des Größer- und Kleinerseins bei Strecken und Winkeln zu definieren und eine Reihe wichtiger Sätze, darunter den ersten und dritten Kongruenzsatz, zu beweisen. Daßdas hier eingeführte Axiomensystem sehr abstrakt ist und daher auch der Einblick in die Tragweite der einzelnen Annahmen erschwert wird, kann wohl kaum bestritten werden. Es tritt dies etwa am deutlichsten darin hervor, daß Verf. zugibt, es sei ihm nicht gelungen, zu entscheiden, ob die erste von ihm gegabene Serie von Axiomen ausreicht für den Nachweis, daß jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt. Es wird dies also als besondere Annahme eingeführt, und nunmehr ergibt sich eine Reihe weiterer Sätze, deren Beweis vorher anscheinend unmöglich ist. Hierzu gehört auch der zweite Kongruenzsatz. – Weiterhin werden sowohl die euklidische, wie die hyperbolische Geometrie behandelt. Was die erste betrifft, so wird das Parallelenaxiom in einer Form ausgesprochen, die möglichst wenige Voraussetzungen macht: “Wenn eine Gerade existiert und ein Punkt, der nicht auf ihr liegt, dann gibt es auch eine solche Gerade \(a\) und einen solchen nicht auf \(a\) gelegenen Punkt \(A\), daß, falls \(a\) und \(A\) in einer Ebene \(\beta\) liegen, in dieser Ebene nicht mehr als eine Gerade existiert, welche durch \(A\) geht und mit \(a\) keinen Punkt gemein hat.” Daßdieses Axiom sowie auch einige von den anderen in einer so bedingten Form ausgesprochen werden, hat darin seinen Grund, daß Verf. ein völlig unabhängiges System von Axiomen aufstellen will. Es soll nicht nur jedes neu hinzutretende Axiom von den vorangehenden, sondern es soll in dem gesamten Axiomensystem jedes einzelne Axiom von der Gesamtheit aller übrigen unabhängig sein. Um alle Sätze der gewöhnlichen Geometrie beweisen zu könnon, ist das Dedekindsche Stetigkeitsaxiom erforderlich; daß jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt, braucht dann nicht besonders angenommen zu werden. – Eine besondere Behandlung erfahren diejenigen Geometrien, in denen die Hilbertschen Axiome I-IV gelten, die bekanntlich dadurch charakteristisch sind, daß sie sich mit Hülfe eines kommutativen Zahlsystems darstellen lassen, in welchem außer den vier Spezies auch die Operation \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ausführbar ist (semiquadratische Geometrie). Ferner werden diejenigen Geometrien behandelt, welche allgemeiner die Operation \(\sqrt{ab}\) gestatten (Geometrie des Lineals und Zirkels). – Die letzten Paragraphen erörtern Fragen sehr allgemeiner Natur. So wird der Nachweis geführt, daß in einer Geometrie, in welcher die Ordnungsaxiome, das Stetigkeits- und das Parallelenaxiom gelten, der Kongruenzbegriff nicht notwendig so definiert werden kann, daß die Kongruenzaxiome Geltung bekommen.
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