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Beiträge zur Analysis situs. (German) JFM 39.0545.12

Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 7, 29-49 (1908).
Nach einer Einleitung, in der die neuere Entwicklung in der Topologie (Enzyklopädieartikel) auseinandergesetzt ist, wird in den nächsten beiden Paragraphen der Begriff der Indikatrix behandelt. Es wird hier eine obere Indikatrix einer Mannigfaltigkeit eingeführt, die im wesentlichen die gewöhnliche (untere Indikatrix) der Umgebung der betreffenden Mannigfaltigkeit in einer sie enthaltenden zweiten Mannigfaltigkeit ist. Einige Eigenschaften dieses Begriffes werden entwickelt. Der §4 führt die “Multiplikation” zweier Mannigfaltigkeiten \(M_{n_1},\) und \(M_{n_2},\) ein. Diese beruht darauf, daß man jeden Punkt von \(M_{n_1}\) ersetzt durch die ganze andere Mannigfaltigkeit \(M_{n_2},\) ferner jede Strecke von \(M_{n_1}\) durch ein prismatisches Raumstück von \(n_2 + 1\) Dimensionen usw. Es wird nun untersucht, wie die Eigenschaften der Faktoren die Eigenschaften des Produkts beeinflussen. Die Mannigfaltigkeit, welche die reellen und komplexen Punkte einer Fläche zweiten Grades darstellt, ergibt sich als Produkt zweier Kugeln, die Mannigfaltigkeit aller reellen Punkte einer geradlinigen \(F_2\) als das Produkt zweier Kreise. Es werden durch Produktbildung Mannigfaltigkeiten erzeugt, die allerlei interessante Eigenschaften haben: z. B. Mannigfaltigkeiten mit vorgeschriebener Dimensionszahl und nichtumkehrbarer Indikatrix, die die Umgebung einer gegebenen Mannigfaltigkeit bilden; ferner Mannigfaltigkeiten, die niemals eine einseitige Umgebung haben können (z. B. die oben erwähnte Mannigfaltigkeit des Produktes zweier Kugeln).
Reviewer: Dehn, Prof. (Kiel)