×

Étude sur les surfaces imaginaires de Monge à lignes de courbure confondues. (French) JFM 39.0683.05

Die ersten drei Arbeiten sind vorläufige Mitteilungen, die in der zuletzt genannten ausführlicheren mit enthalten sind. Sie beschäftigt sich mit den von Monge zuerst betrachteten Flächen, auf denen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte einander gleich und gleichgerichtet sind. Abgesehen von der Kugel, auf der die Krümmungslinien unbestimmt sind, haben diese, sonst imaginären Flächen die Eigenschaft, nur eine Schar von Krümmungslinien zu besitzen. Der Verf. nennt sie Flächen mit verschmolzenen Krümmungslinien oder Flächen \((O_k),\) weil alle ihre Punkte Nabelpunkte (ombilics) sind, und sie eine im allgemeinen von Null verschiedene Totalkrümmung haben. Hierzu gehören auch die Serretschen geradlinigen Flächen konstanten Krümmungsmaßes. Stäckel und Scheffers haben analytische Darstellungen der Flächen \((O_k)\) gegeben.
In den vorliegenden Arbeiten zeigt der Verf. zunächst, daß die Flächen \((O_k)\) als geradlinige Flächen mit isotropen Erzeugenden betrachtet werden können, gibt eine neue und für alle Fälle gültige analytische Darstellung mittels der Bonnetschen komplexen Tangentialkoordinaten, wobei er zugleich den Mongeschen Satz ableitet, daß jede Fläche \((O_k)\) als Einhüllende einer Kugel entsteht, deren Radius gleich dem Bogen der vom Kugelmittelpunkte beschriebenen Kurve ist, und untersucht die in eine Kurve degenerierende Evolute.
Die Flächen \((O_k)\) sind ein spezieller Fall der Flächen, deren Krümmungsmaßnur von einem Parameter der Minimallinien abhängt, für die also die Differentialparameter \(\varDelta_1K, \varDelta_2K\) identisch verschwinden, und für die daher die gewöhnliche Theorie der Abwicklung versagt. Der Verf. zeigt, wie hier zu entscheiden ist, wann zwei derartige Flächen ineinander verbiegbar sind. Zum Schlußwerden noch einige Beziehungen zu der vom Verf. entwickelten Theorie der isothermen Flächen hergeleitet. (Siehe auch JFM 39.0683.02, JFM 39.0683.03, JFM 39.0683.04)