Recherches sur certaines déformations remarquables à réseau conjugué persistant. (French) JFM 39.0688.02

Drach, J.

Toulouse Ann. (2) 10, 125-164 (1908).

Die Arbeit zerfällt in zwei Teile. Der erste beschäftigt sich mit der Bestimmung aller Flächen, die sich stetig derart verbiegen lassen, daß eine Schar von Kurven, deren sphärisches Bild die isotropen Erzeugenden der Kugel sind; diese Eigenschaft während der Deformation beibehält. Der Verf. gibt die Lösung dieser Aufgabe in folgender Form: Es seien \(T\) und \(\varSigma\) beliebig gegebene Funktionen von \(\beta, k\) ein willkürlicher Parameter und \(R\) die allgemeine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung: \[ R' + \tfrac 12\, R^2 = - \tfrac 12 \left( \frac T{\varSigma + k} + \frac 34\;\frac {\varSigma'^2}{(\varSigma + k)^2} \right); \] man setze \[ \varrho= e^{\int Rd\beta},\quad u= \tfrac 12 \int e^{-\int Rd\beta} d\beta, \]
\[ A_1 = \varrho(1-u^2),\quad A_2 = iq (1+ u^2),\quad A_3 = 2qu, \] dann sind die Größen \[ c_i = \sqrt{\varSigma + k} \cdot \left( \frac {-2\alpha}{1+\alpha\beta}\;\frac {A_i}{\sqrt{\varSigma + k}} + \left(\frac {A_1}{\sqrt{\varSigma+k}}\right)'\right) \] für \(i = 1, 2, 3\) die Richtungskosinus der Normale, und ist \[ p=\sqrt {\varSigma +k} \left(2\;\frac {\beta\varphi (\alpha) + \alpha\psi (\beta)}{1 + \alpha\beta} - \varphi' (\alpha) - \psi'(\beta)\right) \] die Entfernung des Koordinatenanfangspunktes von der Tangentialebene der gesuchten Fläche, auf der \((\alpha, \beta)\) ein konjugiertes Netz bedeutet. Es werden ferner die Bedingungen angegeben, unter denen die Flächen der betrachteten Klasse aufeinander abwickelbar sind. Der zweite Teil beschäftigt sich im Anschlußan die vorhergehenden Untersuchungen mit speziellen Lösungen der partiellen Differentialgleichung \[ \frac {\partial^2\omega}{\partial \alpha \partial \beta} = \frac {-2\omega}{(1+\alpha\beta)^2}\,. \]

Reviewer: Rothe, Prof. (Clausthal)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurven.