Sur la théorie des tourbillons. Toulouse Ann. (2) 10, 271-334. (French) JFM 39.0796.02

Stekloff, W.

Toulouse Ann. (2) 10, 271-334 (1908).

Man nehme an, eine vollkommene inkompressible Flüssigkeit sei in einem starren geschlossenen Gefäße enthalten und fülle es vollständig an. Man kann sich vorstellen, daß das starre Gefäß ein Teil eines unveränderlichen Systems (A) ist. Mit \(\xi, \eta, \zeta\) sollen die Achsen eines festen rechtwinkligen Koordinatensystems bezeichnet werden, dagegen mit \(x, y, z\) die eines anderen mit dem Körper (A) unveränderlich verbunden Systems, dessen Nullpunkt \(O\) ist. Die Bewegung des Gefäßes oder des Körpers (A) setzt sich zusammen aus einer Translation, definiert durch die Bewegung von \(O\) als Punkt von (A), und aus einer Rotation von (A) um \(O\). Die Komponenten der Geschwindigkeit von \(O\) längs der Achsen \(x, y, z\) seien \(u_0, v_0, w_0\), die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit der Rotation von (A) um \(O\) für dieselben Achsen seien \(p, q, r\). Die als Funktionen der Zeit \(t\) gegebenen Größen \(u_0, v_0, w_0, p, q, r\) bestimmen die Bewegung des Gefäßes vollständig.
Man bezeichne jetzt die Komponenten der absoluten Geschwindigkeit \(V\) des Punktes \((x, y, z)\) der das Gefäß anfüllenden Flüssigkeit längs den beweglichen Achsen \(x, y, z\) mit \(u, v, w\) und die Komponenten des Wirbels \(\varOmega\) längs denselben Achsen mit \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\), so ist: \[ (1) \quad \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=\omega_1,\quad \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=\omega_2,\quad \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=\omega_3 \] und außerdem wegen der Inkompressibilität: \[ (2) \quad \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0. \] Man bezeichne weiter die Oberfläche des Gefäßes (S), die Richtungskosinus der äußeren Normale \(n\) von (S) in bezug auf die Achsen der \(x, y, z\) mit \(\alpha, \beta, \gamma\). Die Geschwindigkeiten \(u, v, w\) der Flüssigkeit müssen einer Bedingung an der Wandung des Gefäßes [auf (S)] genügen; man erhält sie, indem man ausdrückt, daß die Komponenten der Geschwindigkeit jedes Punktes der Wandung und die des entsprechenden Punktes der Flüssigkeit längs der Normale \(n\) in allen Punkten von (S) einander gleich sind. Hieraus fließt die Gleichung: \[ (3) \quad u\alpha+v\beta+w\gamma=\varphi(x, y, z, t) \quad \text{auf (S)}, \] wo gesetzt ist: \[ (4) \quad \varphi (x, y, z, t)=(u_0+qz-ry)\alpha+(v_0+rx-pz)\beta+(w_0py-qx)\gamma. \] In dem besonderen Falle eines fest stehenden Gefäßes ist \(u_0=v_0=w_0=p=q=r=0\), \(\varphi(x, y, z, t)=0\), und die Gleichung (3) geht über in: \[ (5) \quad u\alpha+v\beta+w\gamma=0 \quad \text{auf (S).} \] Das allgemeine Problem der Wirbeltheorie lautet: Die Wirbel \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) der Flüssigkeit, welche das in einer gegebenen Bewegung begriffene Gefäß ausfüllt, seien in einem Zeitpunkte als Funktionen von \(x, y, z\) gegeben; die Geschwindigkeiten \(u, v, w\) daraus herzuleiten. Gewöhnlich betrachtet man nur zwei besondere Fälle dieses allgemeinen Problems: 1. den Fall einer unbegrenzten Flüssigkeit, 2. den Fall eines fest stehenden Gefäßes. Gelöst wird die Aufgabe nur in dem ersten Fall; den zweiten führt man durch einen bekannten Kunstgriff auf den ersten zurück (H. Poincaré, Théorie des tourbillons, p. 113. P. Appell, Traité de mécanique rationale, T. III, p. 442).
Nun stellen aber die so gefundenen Ausdrücke für die Geschwindigkeiten die Lösung der Aufgabe eigentlich nicht dar; man braucht nur daran zu erinnern, daß sie die Kenntnis der Geschwindigkeiten \(u, v, w\) an der Wandung des Gefäßes verlangen, während diese Geschwindigkeiten \(u, v, w\) an der Wandung des Gefäßes verlangen, während diese Geschwindigkeiten nicht einen Teil der Daten bilden, welche nur Wirbel sind. Diesem Mangel will der Verf. in der vorliegenden Abhandlung abhelfen. Er gibt zuerst eine einfache Methode zur Lösung des oben ausgesprochenen allgemeinen Problems. Danach werden einige Fälle bezeichnet, in denen das Problem sich einfacher durch besondere Betrachtungen lösen läßt, und zuletzt werden einige Anwendungen dieses Fundamentalproblems der Wirbeltheorie auf die Lösung gewisser Fragen der Hydrodynamik gemacht. Schließlich bemerkt der Verf., daß sein Verfahren fast ohne Abänderung zu der Lösung der allgemeineren Aufgabe geeignet sei: Die Bewegung einer Flüssigkeitsmasse zu bestimmen, die von einer geschlossenen Oberfläche (S) begrenzt ist, und bei der die Strömungslinien mit den Wirbellinien zusammenfallen, ferner die Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche (S) sich auf eine stetige Funktion \(f(x, y, z)\) reduziert, welche der Bedingung \(\int fds=0\) genügt.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Kapitel 4. Dynamik. B. Hydrodynamik.