Solution générale du problème d’équilibre dans la théorie de l’élasticité dans le cas où les efforts donnés à la surface. (French) JFM 39.0853.03

Korn, A.

Toulouse Ann. (2) 10, 165-269 (1908).

Von dieser großen Abhandlung sind zwei Auszüge in C. R. 146 und 147 veröffentlicht (Referate vorstehend (JFM 39.0853.01; JFM 39.0853.02)). Man setze zur Abkürzung \[ \begin{aligned} & {\mathfrak u}=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \quad {\mathfrak v}=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}, \quad {\mathfrak w}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\\ & \theta=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}. \end{aligned} \] Zur allgemeinen Lösung des Gleichgewichtsproblems der Elastizitätstheorie in dem Falle, bei welchem die Beanspruchungen \(X_{\nu}, Y_{\nu}, Z_{\nu}\) an der Oberfläche des elastischen Körpers gegeben sind, muß man ein System von Lösungen \(u, v, w\) der Differentialgleichungen finden: \[ \varDelta u+k\;\frac{\partial \theta}{\partial x}=-X,\;\varDelta v+k\;\frac{\partial \theta}{\partial y}=-Y,\;\varDelta w+k\;\frac{\partial \theta}{\partial z}=-Z, \] welche mit ihren ersten Ableitungen in dem Bereiche \(\tau\) des elastischen Körpers stetig sind und den Grenzbedingungen an der Oberfläche \(\sigma\) von \(\tau\) genügen: \[ \begin{aligned} & 2\mu\;\frac{\partial u}{\partial \nu}- \mu(1-k)\theta\cos(\nu x)+ \mu[{\mathfrak w}\cos(\nu y)-{\mathfrak v}\cos(\nu z)]=X_{\nu}, \\ & 2\mu\;\frac{\partial v}{\partial \nu}- \mu(1-k)\theta\cos(\nu y)+ \mu[{\mathfrak u}\cos(\nu z)-{\mathfrak w}\cos(\nu x)]=Y_{\nu}, \\ & 2\mu\;\frac{\partial w}{\partial \nu}- \mu(1-k)\theta\cos(\nu z)+ \mu[{\mathfrak v}\cos(\nu x)-{\mathfrak u}\cos(\nu y)]=Z_{\nu}. \end{aligned} \] \(X, Y, Z\) sind innerhalb des Bereiches \(\tau\) gegebene Funktionen; \(X_{\nu}, Y_{\nu}, Z_{\nu}\) an der Oberfläche \(\sigma\) gegebene Funktionen; \(k\) und \(\mu\) dem elastischen Medium angehörende Konstanten; \(\nu\) die innere Normale der Oberfläche \(\sigma\). Legt man den Funktionen \(X, Y, Z, X_{\nu}, Y_{\nu}, Z_{\nu}\) gewisse Stetigkeitsbedingungen auf, so läßt sich leicht beweisen, daß das Problem – wenigstens für einen einfach zusammenhängenden Körper – nur ein einziges System von Lösungen haben kann die zu den Verrückungen des fest vorausgesetzten Körpers hinzutreten, wenn \(k>\frac 13\). Aber die Beweise für die Existenz der Lösungen haben bisher nur für eine ganz beschränkte Zahl besonderer Fälle gegeben werden können, z. B. für den Fall, daß der elastische Körper eine Kugel ist.
In der gegenwärtigen Abhandlung wird dieses Problem allgemein gelöst, jedoch unter gewissen Annahmen. Erstens wird vorausgesetzt, daß die Oberfläche \(\sigma\) geschlossen ist, in jedem ihrer Punkte eine einzige Tangentialebene und zwei wohlbestimmte Hauptkrümmungsradien besitzt. Zweitens müssen die Funktionen \(X, Y, Z\) den Bedingungen genügen: \[ |X(x_2, y_2, z_2)-X(x_1, y_1, z_1)|\overset{=}< ar_{12}^{{\widetilde\omega}} \quad \left\{\begin{matrix}\l\\ a \text{ eine endliche Konstante}, \\ \widetilde\omega > 0 \end{matrix} \right. \] für je zwei Punkte \((x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\) des Bereiches \(\tau\), deren Abstand mit \(r_{12}\) bezeichnet wird. Drittens müssen die Funktionen \(X_{\nu}, Y_{\nu}, Z_{\nu}\) den Bedingungen genügen: \[ |X_{\nu}(x_2, y_2, z_2)-X_{\nu}(x_1, y_1, z_1)|\overset{=}<br_{12}^{\widetilde\omega} \quad \left\{ \begin{matrix}\l\\ b \text{ eine endliche Konstante}, \\ \widetilde\omega=0 \end{matrix} \right. \] für je zwei Punkte \((x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\) der Oberfläche \(\sigma\), deren Abstand \(r_{12}\) ist; ferner den Bedingungen: \[ \begin{aligned} & \int_{\sigma} X_\nu d\sigma=\int_{\sigma} Y_{\nu}d\sigma=\int_{\sigma} Z_{\nu}d\sigma=0,\\ & \int_{\sigma}(yZ_{\nu}-zY_{\nu})d\sigma= \int_{\sigma}(zX_{\nu}-xZ_{\nu})d\sigma= \int_{\sigma}(xY_{\nu}-yX_{\nu})d\sigma=0. \end{aligned} \] In der Einleitung, die 12 Seiten umfaßt, gibt der Verf. eine Übersicht des Ganzen seiner Untersuchung und bedarf hierzu eines großen Apparates von Formeln. Wir müssen auf die Wiedergabe dieser subtilen Betrachtungen hier verzichten und uns damit begnügen, auf dieses Selbstreferat im Original hinzuweisen.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Elfter Abschnitt. Mathematische Physik. Kapitel 1. Molekularphysik, Kapillarität, Elastizität, Akustik. C. Elastizität.

Citations:

JFM 39.0853.01; JFM 39.0853.02