Sur l’équilibre des plaques élastiques encastrées. (French) JFM 39.0855.01

Korn, A.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 25, 529-583 (1908).

Der Verf. löst in dieser Abhandlung sein Problem in allgemeiner Weise für eine beliebige Randlinie unter der alleinigen Voraussetzung, daß letztere in jedem ihrer Punkte eine einzige Tangente und einen wohlbestimmten, von Null verschiedenen Krümmungsradius besitzt. Er bedient sich der Methode der sukzessiven Annäherungen; mittels ihrer löst er zunächst das folgende Problem: Zwei Funktionen \(U\) und \(V\) zu finden, die nebst ihren ersten Ableitungen innerhalb der Randlinie \(\sigma\) stetig sind und den Bedingungen genügen: \[ \begin{aligned} & (1) \quad \varDelta U=-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x} \int_i f\log \frac 1r d\omega, \quad \varDelta V=-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial y} \int_i f\log \frac 1r d\omega, \quad \text{im Innern},\\ & (2) \quad U=\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x}\int_i \left( \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right) \log \frac 1r d\omega, \end{aligned} \]
\[ V=-\frac{1}{2\pi}\;\frac{\partial}{\partial x}\int_i \left(\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right) \log \tfrac 1r\, d\omega, \quad \text{auf dem Rande } \sigma; \] ferner der Bedingung, daß \(\partial V/\partial x-\partial U/\partial y\) im Innern von \(\sigma\) harmonisch ist.
Nach Lösung dieses Problems ergibt sich unschwierig, daß die Funktionen \[ (3) \left\{ \begin{matrix} u=U-\frac{1}{2\pi}\,\frac{\partial}{\partial y}\int_i \left( \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right) \log \frac 1r \,d\omega, \\ u=V+\frac{1}{2\pi}\,\frac{\partial}{\partial x}\int_i \left( \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right) \log \frac 1r\, d\omega \end{matrix} \right. \] die partiellen Ableitungen \(\partial\varphi/\partial x=u\) und \(\partial\varphi/\partial y=v\) einer Funktion \(\varphi(x, y)\) sind: \[ (4) \quad \varphi(x, y)=-\frac{1}{2\pi} \int_i \left( \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y} \right) \log \tfrac 1r d\omega, \] welche der Gleichung genügt: \[ (5) \quad \frac{\partial^4 \varphi}{\partial x^4}+ \frac{\partial^4 \varphi}{\partial x^2\partial y^2}+ \frac{\partial^4 \varphi}{\partial y^4}=f \quad \text{im Innern} \] und den Grenzbedingungen \[ (6) \quad \varphi=0,\;\partial \varphi/\partial v=0 \quad \text{ auf dem Rande } \sigma. \] Was die gegebene Funktion \(f(x, y)\) anlangt, so wird sie endlich, integrabel und der Bedingung \[ (7) \quad \varDelta \int_i \log \,\tfrac 1r \,d\omega=-2\pi f \] genügend vorausgesetzt.
In den beiden ersten Kapiteln wird die allgemeine Lösung des Problems gegeben und bewiesen, daß diese Lösung die einzige ist. Außerdem werden einige Bemerkungen hinzugefügt in betreff des Falles, wenn die Randlinie nicht stetig gekrümmt ist, wie in dem Falle eines rechteckigen Randes. In dem dritten Kapitel wird ein hydrodynamisches Problem behandelt, das dem zuerst erörterten Problem ganz analog ist, nämlich das Problem des Gleichgewichts einer mit Reibung behafteten Flüssigkeit in dem zweidimensionalen Falle. Das Ende der Abhandlung gibt eine Übersicht über dieselben dreidimensionalen Probleme.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Elfter Abschnitt. Mathematische Physik. Kapitel 1. Molekularphysik, Kapillarität, Elastizität, Akustik. C. Elastizität.