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Sur la réductibilité des équations algébriques et les nombres exponentiels. (French) JFM 40.0122.03
1. Wenn die irreduktible Gleichung \(\Sigma A_{m,n}x^my^n=0\), \(y^n = 0\), wo die Koeffizienten \(A_{m,n}\) algebraische, die Exponenten \(m\), \(n\) rationale Zahlen bedeuten durch das Wertsystem \(x = ae^\alpha\), \(y = be^\beta\) (\(a\), \(b\) algebraisch, \(\alpha\), \(\beta\) rational) befriedigt wird, muß die vorgelegte Gleichung die binomische Form \[ \left(\tfrac xa\right)^p=\left(\tfrac yb\right)^q\quad \text{haben, wo}\quad \tfrac pq=\tfrac \beta\alpha\,. \] 2. Hinreichende und notwendige Bedingung für die Existenz einer linearen Substitution, welche eine algebraische Gleichung mit algebraischen Koeffizienten in eine binomische transformiert, ist, daß die vorgelegte Gleichung durch wenigstens ein Wertsystem der Form \[ x = a_1 e^{\alpha_1} + a_2 e^{\alpha_2},\quad y = b_1 e^{\alpha_1} + b_2 e^{\alpha_2} \] befriedigt wird.
3. Ausdehnung dieses Satzes auf \(n\) Gleichungen mit \((n+1)\) Unbekannten.
4. Untersuchung, unter welchen Bedingungen eine Kurve, deren Gleichung \(f(x,y)=0\) durch ein Wertsystem \[ x=a_0+a_1e^{\alpha_1}+\cdots +a_ne^{a_n},\quad y=b_0+b_1e^{\alpha_1}+\cdots +b_ne^{\alpha_n} \] erfüllt wird, im \(n\)-dimensionalen Raume durch binomische Gleichungen dargestellt werden kann.
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References:
[1] Sur la réductibilité des équations algébriques par des substitutions linéaires [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXVII (I\(\deg\) semestre 1909), pp. 272–280].
[2] Loc. cit. 1).
[3] Picard etSimart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes(Paris, Gauthier-Villars, 1897), t. I, page 80.
[4] Loc. cit. 1), pages 278 et 279.
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