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Von den Differentialgleichungen der projektiven Invarianten. (German) JFM 40.0152.01

Der Verf. behandelt die Grundaufgabe, die projektiven Invarianten durch Struktureigenschaften vollständig zu charakterisieren. Mit Rücksicht auf die gleichbetitelte Arbeit von Study (F. d. M. 39, 154, 1908, JFM 39.0154.01) wird die gruppentheoretische Seite des Problems ausgeschaltet. Kritisch berücksichtigt sind die Arbeiten folgender Autoren: Aronhold, Journ. für Math. 62 (1863), Gram (F. d. M. 6, 90, 1874, JFM 06.0090.02), Capelli (F. d. M. 14, 84, JFM 14.0084.01 u. 86, 1882, JFM 14.0086.01; 33, 126, 1902, JFM 33.0126.01), J. Deruyts (F. d. M. 23, 106, 1891, JFM 23.0106.01 u.110, 1891, JFM 23.0110.01), Kronecker (F. d. M. 21, 149, 1889, JFM 21.0149.01), Story (F. d. M. 24, 115, 1892, JFM 24.0115.03; 25, 176, 1893, JFM 25.0176.01), W. Fr. Meyer (F. d. M. 39, 141, 1908, JFM 39.0141.01, JFM 39.0141.02). Ein Hauptergebnis sei vorangestellt: nachdem Study (l. c.) die Differentialgleichungen der projektiven Invarianten bereits auf zwei reduziert hatte, kommt der Verfasser mit einer einzigen der Aronholdschen Gleichungen und der Forderung der “zyklischen” Symmetrie aus. Man gehe aus(§ 1) von den Urformen \(A, B, \dots\) der Ordnungen \(m_a,m_b,\dots,\) in den Variabeln \(x_1,\dots,x_n\), wo z. B.: \[ A=\sum^{0,m_a}_{[p]}\left(\begin{smallmatrix} m_a \\ [p]\end{smallmatrix}\right) a_{[p]}x^{[p]};\tag{1} \] hier bedeutet \(\left(\begin{smallmatrix} m_a \\ [p]\end{smallmatrix}\right)=\frac{m_a!}{p_1!\dots p_n!}\), für \(\sum p_i=m_a\) einen zur \(m_a\)-ten Potenz gehörigen Polynomialkoeffizienten, und \(a_{[p]}\), \(x^{[p]}\) sind Abkürzungen für \(a_{p_1,p_2,\dots,p_n}\), resp. \(x^{p_1}_1x^{p_2}_2\dots x_n^{p_n}\). Bei dem Komplexe \([p]\) ist auf die “Folge” der Elemente zu achten: als gleich gelten zwei Komplexe nur, wenn die \(n\) Elemente des einen den in der Folge entsprechenden \(n\) Elementen des anderen gleich sind.
Diese Auffassung bietet den Vorteil, daß man es in (1) mit einfachen Summen zu tun hat.
Vermöge der Substitutionen: \[ x_h=u_{h1}x'_1+\cdots +u_{hn}x_n'\quad (h=1,2,\dots,n)\tag{2} \] gehen die \(A, B, \dots\) über in neue Formen \(A', B'\dots\), wo die neuen Koeffizienten \(a_{[p]}',b_{[p]}',\dots\) linear und homogen in den alten, andererseits ganzrational in den Substitutionsparametern \(u_{hk}\) sind, so daß z. B.: \[ a_{[p]}'=\sum^{0,m_a}_{[q]} u_{[p],[q]}a_{[q]}.\tag{3} \] Mit der Determinante \(| U |\) von (2) ist auch die von (3) von Null verschieden. Die Auflösung von (3) laute: \[ a_{[q]}=\sum^{0,m_a}_{[p]}U_{[p],[q]}a_{[p]};\tag{4} \] sie heißt durch (2) “induziert”.
Die Substitutionen (2), (4) lassen sich kürzer mit Hülfe von Matrizen schreiben; die Matrix von (4) heißt dann entsprechend die durch die Matrix von (2) induzierte. Es ergibt sich, daß sich induzierte Matrizen isomorph zu den ursprünglichen zusammensetzen. In § 2 werden die Aronholdschen Differentialgleichungen abgeleitet. Ist \(\Phi=\Phi(a,b,\dots; x)\) homogen in den Variabeln \(x\) und den Koeffizienten \(a,b,\dots\) der Urformen \(A, B, \dots\), so heißt \(\Phi\) eine Kovariante der Substitutionen (2) [und der durch diese induzierten Substitutionen (4)], wenn: \[ \Phi' =\Phi(a',b', \dots; x')= | U|^G\Phi(a,b,\dots; x),\tag{5} \] wo \(| U|\) die Determinante von (2) ist, und \(G\) das “Gewicht” von \(\Phi\) heißt. Kürzer sagt man, daß sich \(\Phi\) gegenüber (2) “invariant verhält”.
Bei freier Veränderlichkeit der \(u_{hk}\) ist \(\Phi\) eine “projektive” Kovariante oder “Kovariante” schlechtweg. Um die schwierige Berechnung der \((a',b',\dots;x')\) zu umgehen, versuche man, die Kovarianten durch Struktureigenschaften zu charakterisieren.
Spezielle Kovarianten (mit \(G = 0\)) sind die Urformen selbst, sodaß: \[ A' = A,\,B' = B, \dots.\tag{6} \] Wichtig ist die zweckmäßige Deutung der in den \(u_{hk}\) identischen Gleichungen (5), (6), resp. (2), (4). Im Gegensatze zu Aronhold empfiehlt es sich, die ursprünglichen Variabeln und Koeffizienten als von den \(u_{hk}\) unabhängige frei veränderliche Größen aufzufassen, so daß die linken Seiten von (5), (6) in den \(u_{hk}\) rational gebrochen erscheinen.
Der im einzelnen nicht unbedenkliche Aufbau Aronholds ist bereits durch Gram vereinfacht und berichtigt worden. Bedient man sich der Aronholdschen Operation: \[ D_{hk}'=u_{1h}\;\frac{\partial}{\partial u_{1k}}+\cdots+u_{nh}\;\frac{\partial}{\partial u_{nk}}\quad (h,k =1, 2,\dots,n),\tag{7} \] sowie des Kroneckerschen Zeichens \(\delta_{hk}=1\) für \(h = k\), \(= 0\) für \(h \neq k\), so folgen aus (5) die \(n^2\) Gleichungen: \[ D_{hk}'\Phi(a', b', \dots; x')=G\delta_{hk}\Phi(a',b', \dots;x'),\tag{\(8'\)} \] und diese sind für die Kovarianteneigenschaft von \(\Phi'\) charakteristisch, wie man unter Zuhülfenahme der Aronhold- Gordanschen Funktion \(\Pi' = \frac{\Phi'}{| U|^G}\), für die (9) \(\frac{\partial\Pi'}{\partial u_{hk}} = 0\), beweist. Somit genügt jede Kovariante \(\Phi'\) vom Gewichte \(G\) den \(n^2\) Differentialgleichungen (\(8'\)), und umgekehrt ist jede Lösung \(\Phi'\) von (\(8'\)), welche die \(u_{hk}\) nur implizite (durch die \(a',b' \dots; x'\)) enthält, eine Kovariante vom Gewichte \(G\).
Aronhold geht von (9) zu (8) über, weil den Operatoren \(D_{hk}'\) wenn sie auf Funktionen \(\Phi'\) angewandt werden sollen, die die \(u_{hk}\) nicht explizite enthalten, die Eigenschaft zukommt, daß die Differentiation nach den \(u_{hk}\) ersetzbar ist durch Differentiation nach den \((a',b', \dots'; x')\), ohne daß die \(u_{hk}\) explizite zum Vorschein kommen.
Für die reale Berechnung der \(D_{hk}'a_{[p]}'\) wird ein besonders zweckmäßiges Verfahren eingeschlagen, wodurch die Aronholdsche Methode wesentlich vereinfacht wird.
Damit läßt sich die Operation \(D_{hk}'\), falls sie auf einen Ausdruck zu erstrecken ist, der die \(u_{hk}\) nur implizite in den Verbindungen \((a',b' \dots; x')\) enthält, in übersichtlicher Weise darstellen. Wird dann der auf die nichtakzentuierten Größen \((a, b, \dots; x)\) bezogene Prozeß mit \(D_{hk}\) bezeichnet, so lassen sich die \(n^2\) für \(\Phi\) charakteristischen Gleichungen (\(8'\)) ersetzen durch die einfacheren analogen: \[ D_{hk}\Phi(a, b, \dots; x)=G\delta_{hk}\Phi(a, b, \dots, x).\tag{8} \] Diese Gleichungen (8) drücken demnach Struktureigenschaften aller Kovarianten vom Gewichte \(G\) aus; umgekehrt sind alle homogenen Lösungen dieser Gleichungen Kovarianten vom Gewichte \(G\). Sei \(\Phi\) in den \((a, b, \dots;x)\) homogen je von den Ordnungen \((g_a, g_b,\dots; \widetilde{\omega})\), und wird \(\Phi\) dem Prozesse \(D_{11} + D_{22} + \cdots + D_{nn}\) unterworfen, so ergibt sich die arithmetische Beziehung: \[ (m_ag_a +m_bg_b+\cdots )-\widetilde\omega=nG.\tag{10} \] Damit ist aus den in Rede stehenden Kriterien der Kovarianten das letzte Element beseitigt, das zur Bildung des transformierten Ausdrucks \(\Phi'\) hätte nötigen können; auch das Gewicht \(G\) ergibt sich aus Struktureigenschaften.
Jetzt läßt sich auch das Gewicht aus den Differentialgleichungen entfernen, insofern sich ergibt: \[ D_{11}\Phi=D_{22}\Phi=\cdots =D_{nn}\Phi = \frac{1}{n}\{(m_ag_a+m_bg_b+\cdots)-\widetilde\omega\}\Phi,\tag{11} \] wobei nur die Homogeneität von \(\Phi\) in den \((a,b, \dots;, x)\) benutzt ist. Damit sind aber die \(n\) Gleichungen \(D_{\nu\nu}\Phi=G\Phi\) ersetzbar durch: \[ (D_{11}- D_{\nu\nu}\Phi=0\quad (\nu = 2, \dots, n).\tag{12} \] Man hat es daher nur mit den \(n^2 -1\) linearen und homogenen Differentialgleichungen (12) nebst \(D_{\mu\nu}\Phi = 0\) \((\mu\neq\nu;\;\mu,\nu=1, 2,\dots, n)\) zu tun. Das sind die Aronholdschen Differentialgleichungen in expliziter Darstellung.
Diese \(n^2-1\) Gleichungen sind indessen nicht alle notwendig. Eine einfache Reduktion des Systems beruht auf der Anwendung des Poissonschen Klammerprozesses auf die Operatoren (7): \[ \{D_{hk}'D_{rs}'\}\equiv D_{hk}'D_{rs}'- D_{rs}'D_{hk}'=\delta_{kr}D_{hs}'-\delta_{hs}D_{rk}'\tag{13} \] für alle Wertkombinationen der \(h, k, r, s\) aus der Reihe \(1, 2, \dots, n\). Sind \(h, k, s\) verschieden, so gilt insbesondere: \[ \{D_{hk}'D_{ks}'\}= D_{hs}'\{D_{hk}'D_{kh}'\}= D_{hh}'- D_{kk}'.\tag{\(13'\)} \] Damit lassen sich alle \(D_{\mu\nu}'\) \((\mu\neq\nu)\) ausdrücken durch \(D_{12}',D_{23}',\dots, D_{n-1,n}',D_{n-1}'\).
Folglich lassen sich die \(n^2-1\) Aronholdschen Differentialgleichungen reduzieren auf die \(n\): \[ D_{12}\Phi=D_{23}\Phi=\cdots=D_{n-1,n}\Phi=D_{n,1}\Phi=0;\tag{14} \] sie bilden die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Kovarianteneigenschaft einer je in den \((a, b,\dots; x)\) homogenen Funktion \(\Phi\).
Dieses System verdankt man W. Fr. Meyer. Da ferner nach (\(13'\)) \(D_{hk} = \{D_{h1}D_{1k}\}\), so lassen sich die \(n^2-1\) Aronholdschen Differentialgleichungen auch ersetzen durch die von Kronecker gegebenen \(2^n-2\) Gleichungen: \[ D_{h1}\Phi = 0,\;D_{1h}\Phi = 0\quad (h = 2, 3, \dots, n). \] Man sieht leicht, daß von diesen Gleichungen (15) sich keine auf die übrigen zurückführen läßt; aber es fehlt noch die Einsicht, daß die Systeme (14) und (15) sich aus inneren Gründen nicht weiter vermindern lassen (s. u.). Die langwierige Arbeit der Feststellung des Kovariantencharakters einer Form \(\Phi\) auf Grund von (14) oder (15) läßt sich durch weitere Verwendung von Struktureigenschaften vermeiden.
Zu dem Behuf beachte man, daß in der Definitionsgleichung (5) von \(\Phi\) noch nicht die Eigenschaft der Determinante \(| U|\) zur Geltung gekommen ist, durch Permutation ihrer Spalten \(S\) höchstens das Vorzeichen zu ändern. Die Umordnung der Spalten \(S\) von \(| U|\) aus der ursprünglichen Folge \(S_1, S_2, \dots, S_n\) in irgendeine andere \(S_{\nu_1},\dots,S_{\nu_n}\) erzielt man durch die Substitution: \[ x_{\nu_i}'=x_i^{\prime\prime}\quad (i=1, 2, \dots, n),\tag{16} \] deren Determinante \(+1\) oder \(-1\) ist, je nachdem die fragliche Permutation \(n\) der Indizes von geradem oder ungeradem Charakter war.
Die Substitution (16) induziert dann eine entsprechende Substitution der Koeffizienten \(a'\). Führt man die letztere in die Kovariante \(\Phi\) ein, so reproduziert sich diese bis auf den Faktor \(\varepsilon^G_\pi\), wo \(\varepsilon_\pi =\pm1\), je nachdem \(\pi\) eine gerade oder ungerade Permutation ist.
Ein weiterer Fortschritt wird dadurch erzielt, daß man, von der Existenz einer ersten der Beziehungen (8) ausgehend, von selbst zur Existenz weiterer solcher für gewisse andere Kombinationen der Indizes \(h\), \(k\) geführt wird.
Hierdurch wird die Lösung der Grundaufgabe, den Kovariantencharakter aus Struktureigenschaften nachzuweisen, in eine ganz andere Bahn gelenkt. Während noch die Systeme (14), (15) ein sehr umständliches Kriterium abgaben, ist man jetzt imstande, mittels Bedingungen von dem Charakter, daß sich eine Kovariante \(\Phi\) gegenüber gewissen Substitutionen nur bis auf einen von den \((a, b, \dots; x)\) unabhängigen Faktor reproduziert, jene Systeme auf eine einzige Gleichung zu beschränken. Zu dem Behuf hat man nur an Stelle der obigen willkürlich gelassenen Permutation \(\pi\) die zyklische \({\mathfrak v} = (1, 2,\dots, n)\) treten zu lassen. Man bezeichne die Reproduktion (bis auf das Vorzeichen) von \(\Phi\) gegenüber \(\pi\) als “Symmetrie” und im Falle \(\pi = {\mathfrak v}\) als “zyklische Symmetrie”. Dann entsteht der grundlegende Satz:
“Eine in den \((a,b, \dots; x)\) je homogene Funktion \(\Phi\) ist eine Kovariante stets und nur dann, wenn sie erstens zyklisch symmetrisch ist, zweitens der Gleichung \(D_{12}\Phi= 0\) genügt”.
Hiernach wird man fragen, welche Eigenschaften die Lösungen dieser einen Gleichung \(D_{12}= 0\) auszeichnen. Zunächst findet man, daß die Gleichungen (12) \((D_{11}-D_{\nu\nu}\Phi = 0(\nu= 2, 3,\dots,n)\), falls \(\Phi\) in den \((a,b, \dots; x;)\) je homogen ist, in ihrer Gesamtheit nur aussagen, daß die ersten, zweiten, …, \(n\)-ten Gewichte von \(\Phi\) immer denselben Wert haben, der dem (Gesamt-) Gewichte \(G\) gleich ist.
Ferner sagt die einzelne Gleichung \(D_{hk}'\Phi'=0\) \((h\neq k)\) aus, daß \(\Phi'\) mit der Determinante \(| U|\) die Eigenschaft hat, sich nicht zu ändern, wenn man die \(u_{ik}\) \((i = 1, 2,\dots, n)\) durch (17) \(u_{ik}+tu_{ih}\) ersetzt, und umgekehrt.
Daraus folgt, daß \(\Phi\) durch \(D_{hk} = 0\) \((h\neq k)\) als eine Kovariante einer gewissen speziellen linearen Substitution charakterisiert wird.
Des weiteren legt der Verf. die näheren Beziehungen seiner Entwickelungen zu denen von Kronecker dar. Letztere gipfeln (implizit) darin, ein System von Matrizen zu finden, mit dem man alle andern mulfiplikativ erzeugen kann.
Der Inhalt des Verfahrens wird daher gekennzeichnet durch den Satz: Eine in den \((a, b,\dots; x)\) einzeln homogene Funktion \(\Phi\) ist dann und nur dann eine Kovariante, wenn sie sich invariant verhält gegenüber einem System unimodularer Substitutionen, aus deren Matrizen sich jede andere unimodulare Matrix multiplikativ zusammensetzen läßt.
Daraufhin läßt sich die Ausführung des Kroneckerschen Gedankenganges wesentlich vereinfachen; man kommt im wesentlichen auf den Spezialfall der Aronholdschen Ableitung – in der obigen modifizierten Darstellung – zurück, wo die Matrix \(U\) in die Einheitsmatrix \(E\) übergeht. Ist \(t\) der in (17) eingeführte Parameter, so hat man die elegante Beziehung: \[ (D_{hk}'\Phi')_{t=0}=\left(\frac{d\Phi'}{dt}\right)_{t=0}.\tag{18} \] Man hat daher nur noch die \(E_{hk}(t)\) \((h\neq k)\) aus möglichst wenig Arten von Matrizen gleicher Art zusammenzusetzen.
Es bilden also, im Gegensatze zu der Auffassung von Kronecker selbst, die Differentialgleichungen des letzteren einen Teil der Aronholdschen.
Dieses System von Gleichungen ist aber nicht das kürzeste, sondern die kleinste Anzahl – unter Beibehaltung des Gleichungstypus – ist \(n\), wie bei W. Fr. Meyer angegeben; nur sind die Rechnungen des letzteren umständlich, was allerdings seinen Grund wieder in den ganz elementaren Hülfsmitteln hat.
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References:

[1] Über induzierte Substitutionen vergl. ferner G. Rados, Math. Ann. Bd. 48.
[2] l. c. Seite 288 (7), jedoch mit anderer Bezeichnung: UnserD? h?k ist mit dem AronholdschenD kh identisch, unseru hk mitx h (k) .
[3] Satz von Kronecker (l. c.), vergl. auch Kronecker-Hensel, Vorl. über die Th. der Determinanten, 21. Vorl., wo andere Systeme angegeben sind; s. ferner meinen in den Gött. Nachr. 1909 erschienenen Aufsatz über die Dekomposition der Matrizen.
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