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General theory of modular invariants. (English) JFM 40.0158.01

Es wird eine Reihe grundlegender Sätze aufgestellt über die Invarianten eines allgemeinen Systems von \(s\) Formen gegenüber linearen Transformationen in einem endlichen Felde. Damit wird zugleich ein neuer Standpunkt für die Theorie der modularen Invarianten gewonnen. In den bisherigen Untersuchungen des Verf. lag der Beweis für die Invarianz eines Polynoms \(P\) in einer mehr oder weniger direkten Verifikation des Umstandes, daß das Polynom \(P\) gegenüber der allgemeinen linearen Gruppe \(G\) des Feldes bis auf eine Potenz der Substitutionsdeterminante ungeändert bleibt. Demgegenüber wird nunmehr der Transformationsbegriff lediglich dazu verwendet, eine vollständige Reihe von \(f\), gegenüber \(G\) nicht äquivalenten Klassen \(C_0,\dots,C_{f-1}\) von Systemen von \(s\) Formen zu liefern. Ein Polynom \(P\) ist dann und nur dann absolut invariant, wenn es für alle Systeme von \(s\) Formen in einer Klasse denselben Wert annimmt. Die Anzahl der linear unabhängigen absoluten Invarianten ist dann keine andere als die Klassenanzahl \(f\). Bezeichnet weiter \(G_1\) die Gruppe der Substitutionen mit der Determinante Eins, so gibt die zu \(G_1\) gehörige Klassenanzahl die Gesamtanzahl der linear unabhängigen (absoluten und relativen) Invarianten an.
Als eine Hauptanwendung der allgemeinen Theorie erscheint die Bestimmung aller Invarianten der allgemeinen \(m\)-ären quadratischen Form im Galoisschen Felde der Ordnung \(p^n\), sowie auch einer binären kubischen Form.
Als Grundlage des Ganzen dienen gewisse Existenztheoreme über modulare Invarianten. So existiert im Felde \([p^n]\) zunächst ein und nur ein Polynom \(\varphi(x_1,\dots,x_k)\), wo kein Exponent größer ist als \(p^n-1\), das für jede Reihe der \(x\) (im Felde) vorgeschriebene Werte annimmt. Der Beweis geschieht durch vollständige Induktion.
Bedeutet weiter \(L\) eine gegebene lineare homogene Gruppe im Felde \([p^n]\), so besitzt ein System von Urformen, mit beliebigen Koeffizienten im Felde, eine und nur eine Invariante gegenüber \(L\), die für die \(f\) Klassen \(C_k\) \((k = 0, 1, \dots, f -1)\) vorgeschriebene Werte annimmt.
Dies folgt fast unmittelbar aus dem vorhergehenden Satze.
Im besondern sei \(J_k\) die Invariante, die für die Klasse \(C_k\) den Wert Eins erhält, während sie für die übrigen verschwindet. Da \(J_k\) die Klasse \(C_k\) völlig charakterisiert, heißt sie die “charakteristische” Invariante des Formensystems für die Klasse \(C_k\) gegenüber der Gruppe \(L\). Diese \(f\) Invarianten \(J_k\) sind im Felde linear unabhängig, und jede andere Invariante läßt sich durch die \(J_k\) linearhomogen darstellen, mit konstanten Feldkoeffizienten.
Dem steht gegenüber eine allgemeinere Art von Unabhängigkeit: irgend \(f-1\) der \(f\) charakteristischen Invarianten \(J_k\) bilden in dem Sinne eine unabhängige Reihe, daß kein Individuum der Reihe sich als ganzrationale Funktion der übrigen darstellen ließe.
Diese Existenztheoreme werden nun zur Untersuchung der absoluten und relativen Invarianten eines Formensystems verwendet; dabei heißen die Invarianten absolut oder relativ, je nachdem \(L\) mit einer der obigen Gruppen \(G\), resp. \(G_1\), zusammenfällt.
Reproduziert sich im zweiten Falle die Invariante bei einer beliebigen Substitution von der Determinante \(\varDelta\) bis auf den Faktor \(\varDelta^w\), so heißt \(w\) das Gewicht.
Man braucht nur die \(G_1\) gehörenden Formenklassen zu kennen, um alle relativen Invarianten zu konstruieren. Damit ergibt sich der wichtige Satz, daß für ein System von \(s\) allgemeinen Urformen gegebener Grade in \(m\) Variabeln, mit willkürlichen Koeffizienten im Felde \([p^n]\), die Anzahl der linear unabhängigen, absoluten und relativen Invarianten übereinstimmt mit der zur Gruppe \(G_1\) gehörigen Zahl \(g\) der Klassen des Formensystems.
Weiter zerfalle irgendeine, \(C_i\), der \(f\) zu \(G\) gehörigen Klassen gegenüber \(G_1\) in \(g_i\) Klassen \(C_{ij}\). Bedeutet \(k\) irgendeine ganze Zahl, sodaß \(0\leq k < g_i\), so existieren \(g_i\) Invarianten \(\Sigma_{ik}\) mit den Gewichten \(ke_i\), wo \(e_i =\frac{p^n-1}{g_i}\). Die \(g = g_0 +\cdots + g_{f-1}\) Invarianten \(\Sigma_{ik}\) sind linear unabhängig. Irgend eine invariante gegenüber \(G\) vom Gewichte \(w\) läßt sich linearhomogen durch diejenigen \(\Sigma_{ik}\) darstellen, die ebenfalls das Gewicht \(w\) besitzen.
Diese allgemeinen Entwickelungen werden auf die quadratischen Formen \(q_m\) von \(m\) Variabeln im Felde \([p^n]\) \((p > 2)\) angewendet. Zunächst werden die \(2w + 1\) charakteristischen absoluten Invarianten einer solchen Form \(q_m\) wirklich aufgestellt, sowie eine gewisse Reihe von \(p^n - 3\) relativen Invarianten. Beide Reihen zusammen liefern eine vollständige Reihe linear unabhängiger Invarianten von \(q_m\).
Der Fall \(p= 2\) erfordert eine spezifische Untersuchung. Hierbei ergeben sich auch die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Form in eine solche mit genau \(r\) Variabeln transformierbar ist; der Rang der Form muß dann den Wert \(r\) haben.
Für diese Kanonisierung der Formen \(q_m\) wird noch eine zweite Methode entwickelt. Durch die Einführung gewisser Invarianten \(\chi\) läßt sich die Theorie der \(q_m\) im Felde \([2^n]\) wesentlich vereinfachen, sowohl hinsichtlich der nichtäquivalenten kanonischen Gestalten von \(q_m\), wie der Invarianten von \(q_m\).
Am Schlusse wird noch die binäre kubische Form im Felde \([p^n]\) behandelt. Es wird für \(p > 2\) eine gewisse vollständige Reihe von \(d + 2p^n\) linear unabhängigen Invarianten gewonnen, zu denen im Falle \(p = 2\) noch einige weitere hinzutreten. Daraufhin läßt sich das Kriterium für die Reduzibilität der Form (für \(p = 2\)) aufstellen.

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