Modular invariants of a general system of linear forms. (English) JFM 40.0160.01

Dickson, L. E.

Lond. M. S. Proc. (2) 7, 430-444 (1909).

Die allgemeine Untersuchungsmethode für modulare Invarianten (vgl. das obige Referat (JFM 40.0158.01) wird hier auf Linearformen angewendet. Im einfachsten Falle sind die Koeffizienten der Formen ganze, in bezug auf den Primzahlmodul \(p\) reduzierte Zahlen. Im allgemeinen Falle sind dagegen die Koeffizienten Galoissche Imaginäre von der Form \(c_0+ c_1\varrho+ \cdots + c_{n-1}\varrho^{n-1}_1\), wo die \(e_i\) wiederum ganze modulo \(p\) reduzierte Zahlen bedeuten, und \(\varrho\) eine Wurzel einer modulo \(\varrho\) irreduzibeln Kongruenz vom Grade \(n\).
Diese \(p^n\) Imaginären bilden das Galoissche Feld \(GF[p^n]\).
Es sei jetzt \(L\) ein System von \(q\) Linearformen \(l_i\):
\[ (1)\qquad l_i=a_{i_1}x_1+\cdots + a_{im}x_m\quad (i= 1,\dots,q), \] deren Koeffizienten beliebige Elemente im Felde \(GF[p^n]\) sind. Ferner sei \(G\) irgend eine gegebene Gruppe von (linearen homogenen) Substitutionen der \(x\) mit Koeffizienten, die dem Felde angehören.
Die \(p^{qmn}\) zugehörigen Partikularsysteme \(L', L'',\dots\) lassen sich gegenüber \(G\) in gewisse \(f\) Klassen \(C_0, C_1,\dots, C_{f- 1}\) zerlegen, sodaß zwei Systeme dann und nur dann derselben Klasse angehören, wenn sie durch Substitutionen von \(G\) ineinander transformierbar sind.
Dann existiert ein und nur ein Polynom \(J(a)\) in den \(a_{ik}\), mit Koeffizienten in \(F\), wo jeder Exponent \(\leq p^n-1\), so daß \(J(a)\) für jede Reihe von Elementen \(a\) im Felde einen vorgeschriebenen Wert \(v_a\) annimmt.
Im besonderen sei \(v_a\) der gleiche Wert für alle \(a\) einer Klasse \(C\), sodaß \(J(a)\) für die Klassen \(C_k\) vorgeschriebene Werte \(v_k\) erhält, so wird \(J(a)\) zu einer Invariante von (1) gegenüber \(G\). Versteht man unter der “charakteristischen” Invariante \(J_k\) von \(C_k\) diejenige, die für \(C_k\) gleich Eins wird, während sie für alle übrigen Klassen verschwindet, so gilt \(J(a) =\sum v_kJ_k\).
Hierauf stützt sich der Hauptsatz, daß jede Invariante eines Systems von \(q > m\) linearen Formen in \(m\) Variabeln eine ganzrationale Funktion ist der Invarianten von Systemen von \(m\) solcher Formen.
Liegen im besondern zwei Linearformen im Felde \([p^n]\) von \(m\) Variabeln vor, so existieren \(p^n+3\) absolute Invarianten für \(m>2\) und \(2p^n+1\) für \(m=2\), woraus sich die charakteristischen Invarianten für die verschiedenen Klassen entnehmen lassen. Bei \(q\) binären Linearformen läßt sich ein System von Invarianten explizit herstellen, sodaß jede andere eine ganzrationale Funktion derselben ist; die Formen werden dabei auf kanonische Typen reduziert.
Eine beliebige Invariante der \(q\) Formen läßt sich auf solche von Paaren der Formen zurückführen, und es läßt sich so auch eine vollständige Reihe von linear unabhängigen Invarianten der \(q\) Formen ermitteln.
Es mögen weiter \(h+1\) (nicht notwendig lineare) Formen \(l_1,\dots, l_h,l_{h+1}\) in \(m (> h)\) Variabeln vorliegen. Es wird dann ein allgemeiner funktionentheoretischer Prozess verwendet, um eine Invariante \(T = V_{1,\dots,h+1}\) zu konstruieren, sodaß \(V\) z. B. den Wert \(c_1\) annimmt, wenn \(l_1,\dots,l_h\) linear unabhängig sind, aber \(l_{h+1}=c_1l_1+\cdots +c_hl_h\), während \(V\) verschwinden soll für alle Systeme von \(h+1\) Formen, die nicht jene beiden Eigenschaften besitzen.
Dies wird angewendet zur Aufstellung einer vollständigen Reihe von linear unabhängigen Invarianten eines Systems von \(q\geq m\) Linearformen \(l_i\) in \(m\) Variabeln mit beliebigen Koeffizienten im Felde \([p^n]\). Hierauf kommt auch der Fall \(q < m\) zurück.
Der Fall \(q = 3\) \((m\geq 3)\), sowie \(q= 4\), \(m=4\) wird im einzelnen durchgeführt und tabellarisch veranschaulicht. In den Fällen \(q = 2, 3\) wird noch eine zweite Methode zur Konstruktion der Invarianten \(V\) entwickelt, die im wesentlichen mit der in der algebraischen Theorie üblichen übereinstimmt.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 2. Theorie der Formen(Invariantentheorie). A. Theorie der algebraischen Formen.

Citations:

JFM 40.0158.01