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Rational reduction of a pair of binary quadratic forms: their modular invariants. (English) JFM 40.0161.01

Es handelt sich im wesentlichen um die Untersuchung der Invarianten eines Paares binärer quadratischer Formen gegenüber modularer Transformation. Von besonderem Nutzen ist dabei die Kenntnis einer vollständigen Reihe kanonischer Typen des Formenpaares zur Aufstellung und zum Nachweise von Relationen zwischen Modularinvarianten, sowie zur Feststellung der Unabhängigkeit solcher von andern.
Vorerst werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Äquivalenz von zwei Paaren quadratischer Formen aufgestellt. Besteht das Feld \(C\) aus allen komplexen Zahlen, so wird die Aufgabe bekanntlich durch die Weierstraßsche Theorie der Elementarteiler gelöst. Liegt indessen an engeres Feld vor, oder auch irgendein endliches, so reichen die Weierstraßschen Bedingungen nicht mehr hin, da alsdann die Transformationsformeln noch Irrationalitäten aufweisen.
Es liege ein erstes Paar quadratischer Formen vor: \(q_1 = a_0x^2+2a_1xy+a_2y^2\), \(q_2=b_0x^2+2b_1xy+b_2y^2\), mit den Diskriminanten \(a, b\) und der bilinearen Invariante \(\vartheta\). Für ein zweites Paar bediene man sich großer Buchstaben. Vom Felde \(F\) werde nur vorausgesetzt, daß es nicht den Modul 2 hat.
Existiert dann in \(F\) eine Substitution von der Determinante \(\varDelta\), die \(q_1\) in \(Q_1\) und \(q_2\) in \(Q_2\) überführt, so ist das Produkt von \(\varDelta^2\) mit der Determinante \(|\lambda q_1+\mu q_2|= a\lambda^2 +\vartheta\lambda\mu + b\mu^2\) gleich der Determinante \(|\lambda Q_1+\mu Q_2|\).
Somit ist eine notwendige Äquivalenzbedingung: \[ (1)\qquad A:a=\Theta:\vartheta=B:b=\text{Quadrat in }F. \] Man betrachte zuerst den Fall, daß \(q_1\) und \(Q_1\) in \(F\) irreduzibel sind. Geht dann \(q_1\) in \(Q_1\) über vermöge \(X=\alpha\xi+\beta\eta\), \(Y=\gamma\xi+\delta\eta\), so tritt nur noch die eine weitere Bedingung hinzu: \[ (2)\qquad a_0(\alpha^2+a\gamma^2)=A_0, \] und es wird \(\delta=\pm\alpha,\beta=\mp a\gamma\).
Der Fall \(q_1 =Q_1\) muß für sich untersucht werden. Insgesamt ergibt sich als Äquivalenzkriterium, daß (1) erfüllt sein muß, \(A_0\) darstellbar sein durch \(q_1\) und noch ein gewisser Ausdruck ein Quadrat in \(F\).
Im Falle eines endlichen Feldes ist dagegen lediglich die Bedingung (1) notwendig und hinreichend; nur gewisse Ausnahmefälle erfordern Modifikationen. Hierbei bedarf man des Hülfssatzes, daß jede binäre Substitution mit Koeffizienten in einem gegebenen Felde durch drei Typen erzeugbar ist: \(x = x' + ty'\), \(y=y';\) \(x=y'\), \(y=- x'\); \(x= x'\), \(y=\lambda y'\), wo \(t\) und \(\lambda\) willkürliche (nicht verschwindende) Elemente des Feldes sind.
Sodann wird eine vollständige Reihe nichtäquivalenter kanonischer Typen für ein Paar \(q_1,q_2\) im Felde \(GF[p^n]\) \((p > 2)\) abgeleitet, wo die verschiedenen Typen invariant charakterisiert sind.
Bringt man \(q_1\) auf die Gestalt \(2xy\), so existieren für \(q_2\) die vier Typen: \(2b_1xy\), \(\mu x^2+2b_1xy\) (\(\mu = 1\) oder \(\nu\)), \(x^2 + 2b_1xy +b_2y^2\) \((b_2\neq 0)\), \(\nu x^2 + 2b_1xy+\nu c^2y^2\) \((c\neq 0)\), wo \(b_1,b_2, c\) willkürlich sind, während \(\nu\) ein festes Nichtquadrat ist.
Die Charakterisierung erfolgt durch Angabe der jeweiligen Werte von drei Invarianten.
Das Gesamtergebnis für ein endliches Feld der Ordnung \(p^n\) \((p > 2)\) lautet: Die Äquivalenzkriterien für zwei Paare \((q_1, q_2)\), \((Q_1, Q_2)\) sind, daß die algebraischen Invarianten \(a, b, \vartheta\) des einen Paares bis auf einen und denselben quadratischen Faktor mit denen des andern Paares übereinstimmen, und daß überdies vier gewisse modulare Invarianten für beide Paare absolut dieselben Werte haben.
Eine spezifische Untersuchung erfordert der Fall der Feldordnung \(2^n\). Man gelangt jetzt zu elf verschiedenen kanonischen Typen, die jeweils durch die Werte von acht gewissen Invarianten charakterisierbar sind.
Diese acht Invarianten sind voneinander unabhängig in dem Sinne, daß sich keine von ihnen ganzrational durch die andern (mit Feldkoeffizienten) ausdrücken läßt. Das bezügliche Äquivalenzkriterium läßt sich in einfacher Weise durch gewisse absolute Invarianten festlegen.
Weiterhin läßt sich aber noch eine gewisse Anzahl von Invarianten angeben, vermöge deren jede ganzrationale Funktion der obigen acht Invarianten linear darstellbar ist. Diese acht Invarianten spielen noch in den Fällen \(n = 1, 2, 3\) eine besondere Rolle, insofern jede Invariante des vorgelegten Formenpaares eine ganze Funktion derselben ist, die letzteren also ein vollständiges System bilden.
Zu dem Behufe ist der bekannte Aronholdsche Prozeß, aus den Invarianten einer einzelnen Form simultane zu erzeugen, in geeigneter Weise zn modifizieren.
Daraufhin gelingt die wirkliche Aufstellung aller Invarianten für \(n= 1, 2, 3\).
Im Falle \(n = 1\) läßt sich jede Invariante als ganze Funktion von 3 und als lineare Funktion von 20 solchen darstellen.
Im Falle \(n = 2, 3\) ist jede Invariante eine ganze Funktion von 8 und eine lineare von 144. Dabei lassen sich diese Anzahlen nicht weiter erniedrigen.
Auf die zahlreichen Zwischenbetrachtungen und Zwischenrechnungen, die zur Gewinnung dieser besonderen Ergebnisse erforderlich sind, kann hier nicht näher eingegangen werden.

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