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Equivalence of pairs of bilinear or quadratic forms under rational transformation. (English) JFM 40.0163.01

Es seien \(A\) und \(B\) ein Paar bilinearer oder quadratischer Formen mit Koeffizienten in einem gegebenen Felde \(F\). Gehen \(A, B\) in \(A', B'\) über vermöge einer linearen Transformation mit Koeffizienten in \(F\), so handelt es sich um die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Äquivalenz von \(A, B\) mit \(A', B'\), wenn auch die beiden letzteren Formen beliebig gegeben vorliegen. Hierbei wird auch der singuläre Fall berücksichtigt, daß die Determinante \(| \lambda A + \mu B|\) identisch verschwindet. Im nicht singulären Falle ist auch jetzt eine notwendige Äquivalenzbedingung, daß beide Paare dieselben Elementarteiler \((\lambda-c_i)^{e_i}\) besitzen. Umgekehrt ist diese Bedingung auch hinreichend für bilineare Formen, aber im allgemeinen nicht mehr für quadratische.
Man adjungiere die Wurzeln \(c\), von \(|\lambda A-B| =0\) und operiere im erweiterten Felde \(F(c_1,\dots,c_n)\). Indem diese Irrationalitäten \(c_i\) schließlich wieder eliminiert werden, lassen sich die vorgenommenen Operationen ersetzen durch rationale im ursprünglichen Felde \(F\).
Die Methode beruht wesentlich auf der Einführung “konjugierter” Variabeln in bezug auf \(F\) und werde an einem Beispiele erläutert. Seien \(x_1,x_2,x_3\) die ursprünglichen Variabeln und \(c_1,c_2,c_3\), die Wurzeln einer in \(F\) irreduzibeln kubischen Gleichung, ferner \(T : z_i= \alpha(c_i)x_1+\beta(c_i)x_2 +\gamma(c_i)x_3 =X_1+c_iX_2+c^2_iX_3\) \((i = 1, 2, 3)\) linear unabhängige Funktionen, wo die Koeffizienten der Polynome \(\alpha,\dots\) zu \(F\) gehören. Dann sind auch die \(X\) solche Funktionen.
Eine quadratische Form \(Q(x)\) in \(F\) sei vermöge \(T\) reduzierbar auf die Form \(N(z)\). Eine zweite Form \(q(y)\) sei vermöge zu \(T\) analoger Transformationen \(T'\) ebenfalls auf \(N(z)\) reduzierbar. Nach Auflösung der Gleichungen \(X_i=Y_i\), läßt sich auch \(Q(x)\) auf \(q(y)\) reduzieren.
Dann heißen die neuen Variabeln \(z_i\) konjugiert in Bezug auf \(F\), da \(z_i\) aus \(z_1\) hervorgeht, indem man \(c_1\) durch eine Wurzel \(c_i\) derselben irreduzibeln Gleichung ersetzt.
Daraufhin läßt sich die Weierstraßsche Reduktion eines Paares bilinearer oder quadratischer Formen in dem Sinne modifizieren, daß die neuen Variabeln sich in Reihen von konjugierten in bezug auf \(F\) zerlegen. Das neue Feld (das nicht den Modul 2 hat) enthält die Koeffizienten der vorgelegten Formen.
Während die Einführung der Wurzeln \(c\) der charakteristischen Gleichung \(|\lambda A-B| = 0\) als für die Theorie wesentlich erhalten bleibt, ist dies nicht der Fall mit den weiteren Irrationalitäten \(\sqrt{C_k}\), die sich vielmehr hier umgehen lassen.
Sind dann \(A, B\) bilineare Formen von \(2n\) Variabeln in \(F\), mit \(| A|\neq 0\), so existieren \(2n\) linear unabhängige homogene Funktionen \(X\), \(Y\), sodaß \(f_\sigma=\frac{1}{C_\sigma}\) nebst den Koeffizienten der \(X, Y\) ganzrational in den \(c_\sigma\) (und in \(F\)) werden und \(A\), \(B\) zu bilinearen Formen der \(X\), \(Y\), wobei die \(f\) und \(c\) als Koeffizienten eintreten. Entsprechend wird die Äquivalenz eines Paares quadratischer Formen behandelt. Erweitert man dann das Feld \(F\) durch Aufnahme der \(c_\sigma\) zu \(F(c_\sigma)\), so läßt sich entsprechend der Anzahl der verschiedenen Elementarteiler eine Reihe spezifischer quadratischer Formen aufstellen, derart, daß die Äquivalenz derselben in \(F(\sigma)\) jeweils mit ihrer korrespondierenden die notwendige und hinreichende Bedingung darstellt für die gesuchte Äquivalenz der beiden gegebenen Formenpaare in dem nämlichen Felde.
Es wird weiterhin noch besonders der Fall des Feldes \(R\) aller reellen Zahlen, sowie der eines endlichen Feldes untersucht.

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