×

Combinants. (English) JFM 40.0164.01

In dieser Abhandlung wird die Theorie der Kombinanten algebraischer Formen gleicher Ordnung im Sinne der früheren Untersuchungen des Verf. auf ein beliebiges Feld \(F\) ausgedehnt.
Sei zunächst \(S\) ein System allgemeiner Formen \(g_1,\dots,g_s\) in den Variabeln \(\xi_1,\dots,\xi_m\) mit beliebigen Koeffizienten in \(F\), ferner \(\varGamma\) die Gruppe aller (linearen homogenen) Substitutionen \(\gamma\) mit Koeffizienten in \(F\). Unter \(\varphi\) verstehe man eine Funktion der Koeffizienten \(\sigma_j\), von \(S\) derart, daß \(\varphi\) in \(F\) für jede Wertreihe der \(\sigma_j\) in \(F\) jeweils nur einen einzigen Wert in \(F\) annimmt. Bedeutet \(|\gamma|\) die Determinante der Substitution \(\gamma\), und bleibt \(\varphi\) gegenüber jeder \(\gamma\) ungeändert, bis auf den Faktor \(|\gamma|^w\), so heißt \(\varphi\) eine Invariante des Formensystems \(S\), vom Gewichte \(w\).
Nunmehr seien die \(g\) insbesondere von gleichem Grade. Ersetzt man die \(g\) durch unabhängige lineare Kombinationen \(Q_i\): \[ (1)\qquad Q_i=\sum^s_{j=1}d_{ij}g_j\quad (i= 1, 2,\dots,s), \] mit (nicht verschwindender) Determinante \(\delta = | d_{ij}|\), so wird eine Invariante der \(g\) zur Kombinante, wenn sie, bis auf den Faktor \(\delta^v\), gegenüber (1) ungeändert bleibt.
Damit geht \(\sum x_ig_i\) über in \(\sum x_i'g_i\) wo: \[ (1')\qquad x_i'=\sum^s_{j=1}d_{ji}x_j \quad (i = 1, 2, \dots,s). \] Unter \(G\) werde die Gruppe aller Substitutionen in \(s\) Variabeln, mit Koeffizienten in \(F\) verstanden; dann ist also eine Kombinante \(C\) der \(g\) eine solche Funktion der Koeffizienten \(\sigma_j\), in der Form \(\sum x_ig_i\) der Variabeln \(x_i\), \(\xi_i\), die, bis auf den Faktor \(| g |^v|\gamma|^w\), gegenüber jeder Substitution \(g\) von \(G\) und \(\gamma\) von \(\varGamma\) ungeändert bleibt.
Unter \(\varGamma_1\) und \(G_1\) seien die Untergruppen der unimodularen Substitutionen von \(\varGamma\), resp. \(G\) verstanden. Indem man den \(\sigma_j\) partikulare Werte beilegt, lassen sich die aus \(\sum x_ig_i\) hervorgehenden Formen in Klassen \(C_k\) gegenüber \(\varGamma_1\), \(G_1\) einteilen.
Eine Funktion \(\varphi\) der \(\sigma_k\) ist dann und nur dann invariant gegenüber \(\varGamma_1\) und \(G_1\), wenn sie für alle Formen \(\sum x_ig_i\) irgendeiner Klasse \(C_k\) denselben Wert \(v_k\) annimmt. Die eindeutig bestimmte Funktion \(J_k\), die für \(C_k\) gleich Eins wird, während sie für die übrigen Klassen verschwindet, heißt die charakteristische Invariante der Klasse \(C_k\) gegenüber \(\varGamma_1, G_1\).
Im Falle eines endlichen Feldes \([p^n]\) läßt sich vermöge eines Interpolationsveriahrens eine ganzrationale Funktion \(\varphi\) der \(\sigma_j\) konstruieren, die je den Wert \(v_k\) für die Klasse \(C_k\) annimmt. Es wird dann \(\varphi = \sum v_kJ_k\). Die Anzahl der linear unabhängigen Invarianten gegenüber \(\varGamma_1\), \(G_1\) ist gleich der Anzahl \(g\) der Klassen \(C_k\).
Es wird nunmehr bestimmt, welche der Funktionen \(\sum v_kJ_k\) Kombinanten sind, sich also gegenüber den totalen Gruppen \(G\), \(\varGamma\) invariant verhalten.
Es ergibt sich, daß auch die Anzahl linear unabhängiger Kombinanten von \(\sum x_ig_i\) im Felde \([p^n]\) gleich der Klassenanzahl \(g\) ist.
Für ein unendliches Feld ist eine andere Methode einzuschlagen. Es genügt aber dann die Kenntnis eines “Fundamentalsystems” \(V_1,\dots, V_r\) von Kombinanten, sodaß alle übrigen einwertige Funktionen derselben werden. Man hat die \(V\) nur so auszuwählen, daß sie die verschiedenen Klassen \(C_k\) vollständig charakterisieren. Jede Kombinante, die in den \(\sigma_j\) ganzrational ist, ist auch ganzrational in den \(V\).
Eine besondere Rolle spielen hierbei die Kombinanten eines gewissen Typus, die gegenüber \(\varGamma\) und \(G\) absolut invariant sind und lediglich die Werte \(0,1\) annehmen.
Um Kombinanten im Falle eines endlichen Feldes zu konstruieren, schlage man folgenden, leicht verallgemeinerungsfähigen Weg ein. Versteht man unter \(K(g)\) irgendeine Invariante einer einzelnen Form \(g\), so summiere man die Größen \(K(x_1g_1i + \cdots +x_sg_a)\) unabhängig über alle Elemente \(x_i\) des Feldes; die Summe stellt eine Kombinante der \(g\) dar. Dies wird im besonderen auf den Fall angewendet, wo die \(g\) quadratische Formen von \(m\) Variabeln sind. Dann ist irgendeine Invariante der Diskriminante \(\varDelta =| x_1g_1+\cdots + x_sg_s|\) eine Kombinante der \(g\).
Im einzelnen durchgeführt werden folgende Fälle: 1. zwei binäre quadratische Formen im Felde \([p^n]\) \((p > 2)\), wo sich ein Fundamentalsystem von vier Kombinanten ergibt; 2. desgleichen zwei ternäre quadratische Formen \(g_1,g_2\); sind deren Determinanten im Felde irreduzibel, so sind zwei solche Formenpaare gegenüber \(\varGamma_i\) dann und nur dann äquivalent, wenn vier gewisse Invarianten für beide Paare dieselben Werte annehmen.
Geht man über zur Familie \(xg_1 + yg_2\), so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Äquivalenz zweier solcher Familien mit irreduzibeln \(\varDelta\) die Äquivalenz der \(\varDelta\) gegenüber \(G_1\). Es läßt sich eine gewisse Kombinante \(E\) angeben, die die Klassen von Familien mit irreduzibeln Diskriminanten gegenüber \(\varGamma_1\), \(G_1\) vollständig charakterisiert, und alle Familien mit irreduzibeln Diskriminanten sind äquivalent gegenüber \(\varGamma\), \(G\).

PDFBibTeX XMLCite