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On commutative linear groups. (English) JFM 40.0186.01

Nach Besprechung einiger älterer Arbeiten von Jordan, Lie und Burnside gibt der Verf. in §2 eine einfache Methode zur Herstellung der bekannten Normalform einer linearen homogenen Substitution an und wendet sich in §§3-8 zur Betrachtung eines beliebigen Aggregats (Gruppe) \(\mathfrak A\) von untereinander vertauschbaren linearen Substitutionen. Für den allein wichtigen Fall, daß jede Substitution \(A\) von \(\mathfrak A\) nur eine charakteristische Wurzel \(\alpha\) besitzt, gilt der Satz: Es lassen sich stets \(n\) lineare Verbindungen \[ x_{11},\dots,x_{1p_1},x_{21},\dots,x_{2p_2},\dots,x_{rp_r} \] der ursprünglichen Variabeln \(x_1,x_2,\dots, x_n\) bestimmen, so daß nach Einführung der Variabeln \(x_{\varrho\sigma}\) das Koeffizientensystem jeder Substitution \(A\) von \({\mathfrak A}\) die Form \[ A=\left(\begin{matrix} A_{xx} & 0& \dots 0\\ A_{21} & A_{22}& \dots 0\\ \hdotsfor3\\ A_{r1} & A_{r2} & \dots A_{rr}\end{matrix}\right) \] erhält, wo \(A_{\varrho\sigma}\) eine Matrix mit \(p_\varrho\) Zeilen und \(p_\sigma\) Kolonnen bedeutet und \(A_{\varrho\varrho}\) sich von der Einheitsmatrix nur um den Faktor \(\alpha\) unterscheidet. Wählt man \(p_1\) möglichst groß, dann ebenso \(p_2\) usw., so sind die \(r\) Indizes \(p_1, p_2,\dots, p_r\) in der gegebenen Reihenfolge durch die Gruppe \({\mathfrak A}\) eindeutig bestimmt.
In §§9-10 werden einige Sätze über eine maximale Gruppe \({\mathfrak A}\) bewiesen, d. h. über eine Gruppe, die in keiner andern kommutativen Gruppe enthalten ist. Im folgenden Teil der Arbeit werden einige specialle Arten von Gruppen \({\mathfrak A}\) untersucht. Besonders wichtig ist der in §§11-20 behandelte Fall \(p_1=1\); zu den diese Eigenschaft besitzenden Gruppen gehören insbesondere die transitiven Gruppen. In §§21-28 werden diejenigen Gruppen diskutiert, bei denen die Indizes \(p_\varrho\), von einer gewissen Stelle angefangen, gleich 1 sind. Bei der ganzen Untersuchung macht der Verf. die Annahme, daß die Koeffizienten der zu betrachtenden linearen Substitutionen einem gegebenen Rationalitätsbereich angehören.
Die Arbeit weist zahlreiche Berührungspunkte mit einer Arbeit von C. Jordan (vgl. F. d. M. 38, 177, 1908, JFM 38.0177.02) auf, die ungefähr gleichzeitig mit der vorliegenden erschienen ist.

Citations:

JFM 38.0177.02
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