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Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Zweiter Band. (German) JFM 40.0232.09

Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner. ix, S. 567-961 (1909).
Das vorliegende Werk führt den Leser durch alle Gebiete der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Man könnte es schlechtweg ein Lehrbuch der analytischen Zahlentheorie nennen, wenn nicht das “Primzahlproblem” den Aufbau bedingt hätte und sich wie ein roter Faden durch alle Kapitel zöge. Methodisch gibt der Verf. seine eigenen, die früheren so ungemein vereinfachenden Theorien und Beweise und zeigt so dem Leser in harmonischer Weise die ganze Lehre bis zu seinen eigenen neuesten Entdeckungen. Vorausgesetzt wird bloß die Kenntnis der eindeutigen Zerlegbarkeit der ganzen rationalen Zahlen in Primteiler und der Elemente der Funktionentheorie einschließlich der Cauchyschen Integralsätze. Über den Inhalt des Werkes schreibt der Verf. selbst am klarsten in seinem Vorwort: “In einer langen Einleitung gebe ich eine ausführliche historische Übersicht über die wichtigsten Etappen der Entwicklung des Primzahlproblems und die präzise Formulierung der in der Folge zu beweisenden Hauptsätze. Übrigens bezieht sich diese Einleitung nur auf die zwei ersten Bücher; jedes der vier späteren Bücher enthält seine eigene historische Einleitung.
Das erste Buch beschäftigt sich vor allem damit, einen Satz zu beweisen und in seinen tiefsten Gründen zu beleuchten, welcher kurz als der “Primzahlsatz” bezeichnet wird und überhaupt als das wichtigste Theorem der Primzahltheorie anzusehen ist; derselbe besteht in der Gleichung: \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\lg x}}=1, \] wo \(\pi(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leq x\) und \(\lg x\) den natürlichen Logarithmus bezeichnet …Im ersten Teil (dem Beginn des ersten Buches) zeige ich, wie weit man in dieser Richtung mit ganz elementaren Methoden gelangen kann; darunter verstehe ich solche, welche mit endlichen Summen operieren, und nehme natürlich keinen Anstand, zur Abschätzung endlicher Summen die Hülfsmittel der Integralrechnung zu benutzen. Im zweiten Teil zeige ich die Tragweite der Einführung einer bestimmten Klasse unendlicher Reihen mit reellen Variablen; es sind dies die sogenannten Dirichletschen Reihen vom Typus \[ \sum^{\infty}_{n=1}\;\frac{a_n}{n^s}\,. \] Übrigens liefert diese Einführung nicht viel mehr als die elementaren Methoden und macht nur manchen Zusammenhang übersichtlicher. Erst im dritten Teil, der die klassischen Hülfsmittel aus der Theorie der Funktionen einer komplexen Variable hinzunimmt, beweise ich den Primzahlsatz und noch schärfere Relationen über \(n(x)\) mit vielen Folgerungen. Für den Beweis des Primzahlsatzes schlage ich einen andern Weg ein als seine beiden Entdecker und schließe mich an eine von mir im Jahre 1903 (F. d. M. 34, 228, 1903, JFM 34.0228.03) veröffentlichte Abhandlung an. Die Methode unterscheidet sich dadurch wesentlich von den beiden älteren, daß ich die Hadamardsche Theorie der ganzen transzendenten Funktionen nicht benutze, sondern um so rascher mit den klassischen funktionentheoretischen Hülfsmitteln allein zum Ziele gelange. Im vierten Teil entwickle ich, soweit ich sie gebrauche, die Hadamardschen Sätze über ganze transzendente Funktionen und deren Anwendungen auf die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion und auf das Primzahlproblem. Bei dieser Gelegenheit beweise ich auch eine von Riemann heuristisch hergeleitete und erst von H. v. Mangoldt bewiesene Identität für die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.
Das zweite Buch behandelt die Primzahlen einer arithmetischen Progression, deren Anfangsglied und Differenz teilerfremd sind. …Es enthält also Teil fünf die Anwendung der Dirichletschen Reihen mit reellen Variablen, insbesondere den berühmten Dirichletschen Beweis vom Vorhandensein unendlich vieler Primzahlen in der Progression, Teil sechs die Anwendung der klassischen funktionentheoretischen Hülfsmittel auf die betreffenden Dirichletschen Reihen als Funktionen komplexen Argumentes, Teil sieben das Studium der Verteilung der Nullstellen dieser Funktionen unter Anwendung aller zu Gebote stehenden Hülfsmittel. …
Im dritten Buch, welches ohne Kenntnisnahme des zweiten Buches gelesen werden kann, behandle ich analog zwei mit \(\mu(n)\) und \(\lambda(n)\) bezeichnete zahlentheoretische Funktionen (die sogenannte Möbiussche und Liouvillesche Funktion), und im vierten Buch dieselben Funktionen für die Zahlen einer arithmetischen Progression.
Im fünften Buch löse ich einige andere Probleme der Primzahltheorie (z.B. die Lehmerschen Probleme; siehe diesen Band S. 261. Fu.(JFM 40.0261.04)).
Im sechsten Buch untersuche ich im Zusammenhang die Eigenschaften der sogenannten Dirichletschen Reihen vom speziellen Typus \[ \sum^{\infty}_{n=1}\;\frac{a_n}{n^s}\,, \] von denen im vorangehenden schon so manches mitbewiesen war, und vom allgemeineren Typus \[ \sum^{\infty}_{n=1}\;a_n\, e^{-\lambda_{n^s}}\,, \] wo die \(\lambda_n\) eine beliebige Folge monoton ins Unendliche wachsender Größen sind.”
Den Schluß des Werkes bildet ein vollständiges Verzeichnis aller in das behandelte Gebiet fallender Arbeiten, nach Autoren geordnet.

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11N05 Distribution of primes
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
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