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Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl \(n\)-ter Potenzen (Waringsches Problem). (German) JFM 40.0236.03
In dieser dem Andenken an Hermann Minkowski gewidmeten Arbeit wird zum ersten Male das Problem allgemein gelöst: Jede positive ganze Zahl läßt sich als Summe von \(n\)-ten Potenzen positiver ganzer Zahlen darstellen, so daß deren Anzahl unterhalb einer Schranke liegt, die nur durch den Exponenten \(n\) bedingt ist, dagegen nicht von der darzustellenden Zahl abhängt. Bisher war der Satz nur für \(n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\) bewiesen (vgl. 1896, JFM 27.0148.01; 1906, JFM 37.0215.01; 1907, JFM 38.0227.03, JFM 38.0228.01; 1908, JFM 39.0242.02; vorstehendes Referat, JFM 40.0236.03).
Der Hilbertsche Beweis besteht in einer neuen und eigenartigen Anwendung der Integralformel
\[ (x^2_1+\cdots +x^2_5)^m=\frac{(2m+1)(2m+3)(2m+5)}{8\pi^2}\underbrace{ \int\cdots \int}_{S} (f_1x_1+\cdots+t_5x_5)^{2m}\,dt_1\cdots dt_5,\tag{1} \]
wo das 5-fache Integral rechts über die Kugel \(S\):
\[ t^2_1-t^2_2+\cdots +t^2_5\leqq 1 \]
zu erstrecken ist. Durch besondere Berechnung dieses Integrals gelingt der Beweis der Relation
\[ x^2_1+\cdots+x^2_5)^m=\sum^{M}_{h=1} r_h(a_{1h}x_1+\cdots+a_{5h}x_5)^{2m},\tag{2}\]
wo \(M = \frac{(2m+1)(2m+2)(2m+3)(2m+4)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\), die \(r_1,\dots,r_M\) positive rationale, nur von \(m\) abhängige Zahlen und die \(a\) ganze durch \(m\) bestimmte Zahlen sind. Hieraus erkennt man die Richtigkeit des Satzes für den Exponenten \(2m\), wenn er für \(m\) bewiesen ist. Da der Satz für \(m= 2\) durchgeführt ist, so ist er somit für alle Exponenten \(2^n\) bewiesen. Zur allgemeinen Durchführung verwendet Hilbert eine Reihe von Hülfssätzen, die aus Formel (1) folgen.

MSC:
11P05 Waring’s problem and variants
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Meditationes algebricae, ed. III. Cambridge 1782. S. 349-350.
[2] Congrès de Bordeaux 1895.?Journal de mathématiques, Ser. 5, Bd. 2, 1896.?Comptes rendus, Bd. 145, Paris 1904.?Bull. de la soc. math. de France, Bd. 36, 1908.
[3] Sitzungsber. der Berl. math. Ges. 1906.?Math. Annalen Bd. 64, 1907.
[4] Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 23, 1907.?Math. Ann. Bd. 66, 1908.
[5] Math. Annalen Bd. 65, 1908.
[6] Math. Annalen Bd. 66, 67, 1908-09. (3 Abhandlungen)
[7] In meiner ursprünglichen Verötfentlichung (Nachr. der Ges. der Wiss. zu Göttingen 1909) habe ich mich hier eines gewissen 25-fachen Integrales bedient; daß man dasselbe für den vorliegenden Zweck durch das obige 5-fache Integral ersetzen kann, ist eine sehr dankenswerte, mir von verschiedenen Seiten (F. Hausdorff, J. Kürschák, u. A.) gemachte Bemerkung. Der dort von mir formulierte und bewiesene Satz I über das 25-fache Integral beansprucht jedoch deshalb ein selbständiges Interesse, weil er in engster Beziehung zu der schönen Theorie der orthogonalen Invarianten von A. Hurwitz steht (vgl. dessen Abhandlung, ?Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration?, Nachr. der Ges. der Wiss. zu Göttingen 1894) und in einfachster Weise den Grundgedanken zum Ausdruck bringt, mittels dessen diesem Forscher der Nachweis für die Endlichkeit des vollen Systems orthogonaler Invarianten gelungen ist.
[8] Vgl. A. Hurwitz, Math. Ann. Bd. 65, S. 424.
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