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On the representation of numbers by modular forms. (English) JFM 40.0269.01

Für jedes Feld \(F\), in welchem eine irreduzible Gleichung \(f(\varrho)=0\) vom Grade \(m\) besteht, ist die Norm von \(x_0 +x_1\varrho+ x_2\varrho^2 +\cdots + x_{m-1}\varrho^{m-1}\) eine Form \(m\)-ten Grades in \(m\) Variabeln, die für kein Wertesystem der \(x_i\) in dem Felde \(F\) verschwindet, außer wenn alle \(x_i\) gleich Null sind. Für ein endliches Feld scheint es richtig zu sein, daß jede Form \(m\)-ten Grades in \(m + 1\) Veränderlichen für Werte in dem Felde verschwindet, die nicht alle Null sind. Für \(m = 2\) und \(m = 3\) wird dieser Satz in den §§2 und 3 hergeleitet. Der entsprechende Satz gilt im allgemeinen nicht für unendliche Felder. Aber A. Meyer hat gezeigt, daß jede indefinite quadratische Form in 5 Variabeln für ganze Werte verschwindet, die nicht alle Null sind. Modularformen, die nur Quadrate darstellen, sind ausführlich vom Verf. in Amer. Math. Soc. Trans. 10, 109-122, untersucht worden (Referat vorstehend (JFM 40.0268.03)); solche, die ausschließlich Kuben darstellen, werden in §§4–12 betrachtet.

MSC:

11E76 Forms of degree higher than two

Citations:

JFM 40.0268.03
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