Die Identität des Cesàroschen und Hölderschen Grenzwertes. (German) JFM 40.0304.02

Schnee, W.

Math. Ann. 67, 110-125 (1909).

Setzt man, um den Summenwert einer divergenten Reihe \(\sum a_n\) zu erhalten mit Cesàro \[ S^{(0)}_n = a_0+a_1 + \cdots + a_n,\quad S^{(\gamma)}_n = S^{(\gamma-1)}_0+\cdots + S^{\gamma-1}_n\quad (\gamma = 1, 2,\dots ) \] und andrerseits mit Hölder \[ s^{(0)}_n=S^{(0)}_n,\;s^{(\gamma)}_n=\frac{s^{(\gamma-1)}_0+\cdots+s^{(\gamma-1)}_n}{n+1}\,, \] so sind, wie Schnee beweist, die beiden Grenzwerte \[ \lim_{n=\infty} s^{(\gamma)}_n\;\text{und}\;\lim_{n=\infty}\;\frac{\gamma'\cdot S^{(\gamma)}_n}{n^\gamma} \] stets gleichzeitig vorhanden oder nicht vorhanden. Im ersteren Falle sind sie einander gleich.

Reviewer: Knopp, K., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

References:

[1]	Dieses Resultat habe ich, ohne damals den Beweis mitzuteilen, schon in meiner Dissertation: ?Über irreguläre Potenzreihen und Drichletsche Reihen. I. Teil.? (Berlin, 1908, [S. 1-80] S. 52, Anm. 15) ausgesprochen.