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Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten. (German) JFM 40.0310.04

Diese Arbeit sucht die Frage zu beantworten, wann eine nach irgend welchen (normierten) Orthogonalfunktionen \(\varPhi_k(x)\) fortschreitende Reihe \(\sum c_k\varPhi_k(x)\) für alle Werte des unabhängigen Arguments bis auf eine Menge vom Maße 0 konvergiert. Es wird bewiesen, daß die Endlichkeit der Summe \(\sum c^2_k\sqrt{k}\) in jedem Falle eine hinreichende Bedingung ist. Für beschränkte Orthogonalsysteme, wie z. B. die trigonometrischen Reihen, genügt es bereits, die Endlichkeit von \(\sum c^2_k\root 3\of{k}\) vorauszusetzen. Der Beweis für diese Sätze, die namentlich dadurch merkwürdig sind, daß ihre Kriterien weit in das Gebiet der nichtabsoluten Konvergenz hineinreichen, wird auf einem Wege erbracht, auf den die posthum in den Math. Annalen 66 veröffentlichte Jeroschsche Abhandlung “Über die Konvergenz von Reihen, die nach periodischen Funktionen fortschreiten” hinwies (F. d. M. 39, 320, 1908, JFM 39.0320.04).
Damit eine Reihe nach Orthogonalfunktionen durch einmalige Bildung arithmetischer Mittel summierbar ist, genügt die Endlichkeit von \(\sum c^2_k\lg k\). In jedem Fall aber kann man, wie am Schluß der Arbeit gezeigt wird, wenn nur \(\sum c^2_k\) konvergiert, aus den Partialsummen eine solche Teilfolge auswählen, die für sich gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Dies gilt überhaupt für jede Folge von Funktionen, die im Fischerschen Sinne “im Mittel” konvergent ist.

Citations:

JFM 39.0320.04
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References:

[1] Lebesgue, Leçons sur l’intégration (Paris 1904), pag. 112 ff.
[2] L. Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Ann. Bd. 58, pag. 52.
[3] Comptes Rendus 1907, pag. 1022.
[4] Von den bekannten Beweisen (Riesz, Gött. Nachr. 1907, pag. 116; Fischer, l. c.; Hellinger, Dissertation, Göttingen 1907, pag. 81) unterscheidet sich der hier gegebene namentlich dadurch, daß er nicht erst, wie jene, zu der durch gliedweise Integration gewonnenen Funktionenreihe übergeht.
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