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Sulla convergenza uniforme di una successione di funzioni continue. (Italian) JFM 40.0311.01

Ven. Ist. Atti. 69 [(8) 12], 151-159 (1909).
Die Folge von stetigen Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x),\cdots\) konvergiere für jedes \(x\) des Intervalles \((a \dots b)\). Es sei \(M_n(x,\varepsilon)\) für jedes \(\varepsilon > 0\) das Maximum und \(m_n(x,\varepsilon)\) das Minimum von \(f_n(x)\) im Intervall \((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\); ferner sei \[ \mu(x,\varepsilon)= \lim_{n=\infty} \sup M_n(x,\varepsilon)\text{ und }\nu(x,\varepsilon)=\lim_{n=\infty} \inf m_n(x,\varepsilon). \] Nimmt \(\varepsilon\) gegen 0 ab, so nimmt \(\mu(x,\varepsilon)\) nicht zu und \(\nu(x,\varepsilon)\) nicht ab. Es existieren daher für jedes \(x\) die Zahlen \[ \mu(x) = \lim_{\varepsilon=0}\mu(x,\varepsilon)\text{ und }\nu(x) = \lim_{\varepsilon=0}\nu(x,\varepsilon). \] Verf. beweist nun den Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f_n(x)\) in \((a,b)\) gleichmäßig konvergiert, ist, daß dort identisch \(\mu(x)=\nu(x)\) ist.