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Über das Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen. (German) JFM 40.0311.03
In gewissen Fällen kann man aus dem analytischen Verhalten der durch eine Dirichletsche Reihe definierten Funktion direkt auf eine obere Schranke für die Abszisse der Grenzgeraden schließen. Ein erster Satz Landaus in dieser Richtung wurde von Schnee (Math. Ann. 66, 337-349) erweitert: Ist \(b_n =O(n^\delta)\) für jedes \(\delta > 0\), ist überdies \(f(s) =\sum b_nn^{-s}\) für \(\sigma> \eta\) \((\eta<1)\) regulär, und ist \(| f(s)|< B| t|^k\) für \(| t|\geqq 1\), \(\sigma\geqq 1\), wo \(B\) und \(k\) \((0\leqq k<1)\) konstant sind, so konvergiert \(\sum b_nn^{-s}\) mindestens für \(\sigma >\frac{\eta+k}{1+k}\).
In der vorliegenden Arbeit vereinfacht Landau den recht komplizierten Beweis Schnees und fügt einen zweiten Beweis hinzu. Im Falle \(k\geqq 1\) wird der Satz noch erweitert.

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References:
[1] Satz IX derBeiträge zur analytischen Zahlentheorie [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXVI (2. Sem. 1908), S. 169–302], S. 252–255. Ich bemerke bei dieser Gelegenheit, dass in der Reproduktion einer Hilfsbetrachtung aus dieser Arbeit in meiner spateren AbhandlungZwei neue Herleitungen für die asymptotiscbe Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze [Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1908, S. 746–764] ein wesentliches Wort versehentlich fortgeblieben ist. Auf S. 758, Z. 10 v. u. liesdefiniert, stetig und stattdefinirt und. Selbstverständlich ist die Voraussetzung der Stetigkeit für das spezielle (x) auf S. 763 erfüllt.
[2] Zum Konvtrgenzproblem der Dirichlet’schen Reihen [Mathematische Annalen, Bd. LXVI (1909), S. 337–349].
[3] Sur une extension d’un principe classique de l’Analyse et sur quelques propriètès des fonctions monogènes dans le voisinage d’un point singulier [Acta Mathematica, Bd. XXXI (1908), S. 381–406], S. 382. · JFM 39.0465.01
[4] Quelques remarques sur la croissance de la fonction \(\varsigma\)(s) [Bulletin des Sciences mathématiques, Ser. II, Bd. XXXII (1908), S. 341–356], S. 344–348.
[5] Vergl. die Fussnote auf S. 347 der in Anm. 4) zitierten Abhandlung.
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