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Une application géométrique de la série considérée par Airy dans la diffraction des ouvertures circulaires. (French) JFM 40.0370.06
Nouv. Ann. (4) 9, 433-441 (1909).
Die von Airy bereits im Jahre 1834 betrachtete, für jeden Wert von \(m\) absolut konvergente Reihe \[ 1-\frac12\;\left(\frac{m}{1}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\frac{m^2}{2!}\right)^2-\frac{1}{4}\left(\frac{m^3}{3!}\right)^2+\cdots+\frac{(-1)^n}{n+1}\left(\frac{m^n}{n!}\right)^2+\cdots, \] welche bei der Untersuchung der durch die optischen Instrumente gelieferten Bilder von großer Wichtigkeit ist, spielt, wie Verf. zeigt, auch eine Rolle bei der Bestimmung der Linien größter Neigung der Oberfläche fünfter Ordnung \(z=y(5x^2-y^4)\), deren Asymptotenlinien algebraisch sind. Durch die Substitution \(x^2=4\xi, y^2=2/\eta\) nimmt die Gleichung der Linien größter Neigung die Form einer Riccatischen Differentialgleichung \(d\eta/d\xi+\eta^2-1/\xi=0\) an, die der Differentialgleichung zweiter Ordnung \(\xi d^2\zeta/d\xi^2-\zeta=0\) der Bewegung des Pendels, dessen Länge proportional der Zeit wächst, im Falle kleiner Schwingungen äquivalent ist. Diese Gleichung zweiter Ordnung besitzt ein Integral \[ \zeta_1=\int_0^\infty e^{-\left(\alpha+\frac{\xi}{\alpha}\right)}d\alpha, \] und ein Integral \(\zeta_2\), welches durch die Airysche Reihe oder, was auf dasselbe hinauskommt, durch die Besselsche Funktion erster Art vom Index 1 darstellbarist. Dadurch sind die Linien größter Neigung vollständig bestimmt. Die Gleichung ihrer Projektionen ist: \[ y^2=-2\;\frac{iCxI_1(ix)+\int_0^\infty d\alpha e^{-\left(\alpha+\frac{x^2}{4\alpha}\right)}}{2CI_0(ix)+\int_0^\infty \frac{d\alpha}{\alpha}\frac{d\alpha}{\alpha}e^{-\left(\alpha+\frac{x^2}{4\alpha}\right)}}, \] worin \(C\) die willkürliche reelle Integrationskonstante ist (\(i\) kommt nur scheinbar darin vor). Den Schluß bildet die Betrachtung der allgemeineren Riccatischen Gleichung \(dy/dx+y^2=1/X\), wo \(X\) ein Trinom zweiten Grades in \(x\) ist.
Full Text: EuDML