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Über Kleinsche Theoreme in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. (2. Mitteilung.). (German) JFM 40.0373.05

Verf. betrachtet zunächst wie früher (Math. Ann. 66, 215-257; F. d. M. 39, 380, 1908, JFM 39.0380.04) die lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung: \[ (1)\quad y''+y'\left(\frac{1-\alpha}{x-a}+\frac{1-\beta}{x-b}+\frac{1-\gamma}{x-c}\right)+\frac{Ax+B}{(x-a)(x-b)(x-c)}\;y=0, \] in welcher aber jetzt die drei im Endlichen gelegenen singulären Stellen irgend welche komplexen Werte haben können; dagegen wird wie früher vorausgesetzt, daß für die reellen Größen \(\alpha,\beta,\gamma,\delta',\delta''\) die Ungleichungen bestehen: \(0\leqq \alpha<1, 0\leqq \beta<1, 0\leqq \gamma<1, 0\leqq \delta'-\delta''<1\), wobei also zu den singulären Stellen \(a,b,c,d=\infty\) Exponentenpaare \((\alpha,0)(\beta,0),(\gamma,0),(\delta',\delta'')\) gehören und \(\delta'\delta''=A\) ist. Von irgend einem in der \(x\)-Ebene gelegenen Punkte O werden nun 4 geradlinige, sich nicht überkreuzende Einschnitte nach den Punkten \(a, b, c\) und \(d\) gelegt; die so zerschnittene \(x\)-Ebene wird durch den Quotienten \(\eta\) zweier Partikularlösungen auf einen auf der \(\eta\)-Kugel gelegenen Fundamentalbereich abgebildet. Von den 8 Ecken dieses Bereiches entsprechen 4 dem Punkte O, die anderen 4 Ecken, welche den Punkten \(a,b,c\) und \(d\) entsprechen, seien \(a', b', c', d'\). Dann sind je die beiden in den Ecken \(a',b',c',d'\) zusammenstoßenden Seiten einander durch die linearen Substitutionen \(A,B,\Gamma,\Delta\) zugeordnet, denen unter Zugrundelegung der \(\eta\)-Kugel als Maßfläche einer projektiven Maßbestimmung 4 Drehungen entsprechen, deren Achsen, bzw. durch \(a', b', c', d'\) gehend, die Kugel zum zweiten Male bzw. in \(a'', b'', c'', d''\) schneiden mögen. Diese 4 Achsen, welche im allgemeinen zu einander windschief liegen, bilden, mit Einschluß der dazu gehörigen Drehungen von den Amplituden \(2\alpha\pi, 2\beta\pi, 2\gamma\pi, 2\delta\pi\) den “Kern” des Fundamentalbereiches in sinngemäßer Erweiterung der von F. Klein eingeführten Nomenklatur. Dieser Kern hat 12 Maßzahlen, die man geeignet festlegen muß: Vier davon, die Kantenwinkel, sind identisch mit den vorgegebenen Amplituden \(2\alpha\pi, 2\beta\pi, 2\gamma\pi, 2\delta\pi\) der Drehungen, während die anderen 8 Maßzahlen sich als komplexe Amplituden von Schraubungen ergeben. Nach dem von Klein aufgestellten Programm entsteht dann die Aufgabe, die beiden in dem jetzt komplexen “akzessorischen Parameter” \(B=B_1+iB_2\) enthaltenen reellen Größen \(B_1\) und \(B_2\) durch die beiden Gleichungen festzulegen, welche durch die Vorgabe einer der letzten 8 jetzt komplexen Maßzahlen geliefert werden. Verf. behandelt jedoch zunächst nur den wichtigsten Fall, nämlich den, daß die 4 Substitutionen einen Orthogonalkreis unverändert lassen; dieser Fall postuliert, daß die 4 Achsen \(a'a'',b'b'',c'c'',d'd''\) sich in einem Punkte schneiden. Daraus ergeben sich, wenn die Werte von \(\eta\) in \(a', a'',b',b'',c',c''\) bzw. \(\lambda_1,\lambda_2,0,\infty,v_1,v_2\) sind, die beiden Bedingungsgleichungen \[ (2)\quad \mathfrak R\left(\frac{1}{i}\;\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)=0,\;(3)\quad \frac{\mathfrak R\left(\frac{1}{i}\frac{v_1}{v_2}\right)}{\sin\vartheta}=0, \] wo \(\mathfrak R(f)\) den reellen Teil von \(f\) bedeutet und \(\vartheta\) der Winkel ist, den die Gerade \(c',c''\) mit derjenigen Ebene bildet, welche durch \(b'b''\) und die durch den Schnitt von \(a'a''\) und \(b'b''\) gehende Achse der aus \(A\) und \(B\) zusammengesetzten Substitution, bezüglich durch die durch diesen Schnittpunkt gehende, zur Achse konjugierte Gerade bestimmt ist. Die Aufgabe ist dann, die beiden reellen Größen \(B_1\) und \(B_2\) so zu bestimmen, daß die reellen Gleichungen (2) gleichzeitig erfüllt sind. Dabei ergibt sich, daß die Anzahlen der Blätter, um welche die einzelnen Achsen auf dem über der \(\eta\)-Kugel ausgebreiteten Fundamentalbereiche auseinanderliegen, in dem Sinne invariante Zahlen sind, daß sie sich nicht ändern, wenn die Exponentendifferenzen und die singulären Punkte von (1) stetig so variiert werden, daß der Orthogonalkreis reell bleibt. Die Zahl der Blätter, welche man in einem bestimmten, als positiv zu bezeichnenden Sinne durchlaufen muß, um von \(b'b''\) nach \(a'a''\) zu kommen, nennt Verf. die “charakteristische Oszillationszahl” des Intervalles \(ba\); dieselbe kann also \(\geqq 0\) angenommen werden. Die Zahl der Blätter, welche man durchlaufen muß, um von \(b'b''\) nach \(c'c''\) zu kommen, heißt die charakteristische Oszillationszahl des Intervalles \(bc\), sie kann positiv oder negativ sein. Man erhält dann folgenden Satz: “Wenn in (1) \(A\) positiv ist, kann man stets den komplexen Parameter \(B\) so bestimmen, daß der zugehörige Kern einen reellen Orthogonalkreis besitzt, und daß zu dem Intervalle \(ba\) irgend eine vorgeschriebene ganzzahlige, als positiv anzunehmende oder verschwindende charakteristische Oszillationszahl \(k_1\) und zu dem Intervall \(bc\) irgend eine ganzzahhge positive oder negative oder verschwindende charakteristische Oszillationszahl \(k_2\) gehört. Ist \(k_1=0\), so fallen die beiden Fälle eines positiven und eines negativen \(k_2\) zusammen.” Zu dem Intervall \(cd\) gehört dann die charakteristische Oszillationszahl \(k_1\), zu \(ad\) wieder \(k_2\). Der Fundamentalbereich zieht sich bandförmig durch eine entsprechende Anzahl von Blättern derjenigen Riemannschen Fläche, die aus der fortgesetzten Reproduktion des Fundamentalbereiches entsteht. Um diesen Satz zu beweisen, geht Verf. von dem einfachsten Falle aus, daß die Größen \(\alpha,\beta,\gamma\) und \(\delta\) alle den Wert \(\frac12\) haben, der sich vollständig durch elementare Funktionen erledigen läßt. Daraus leitet er mittels einer neuen Art von Kontinuitätsbetrachtungen die Existenztheoreme im allgemeinen Fall ab; er diskutiert nämlich die Veränderungen, welche das durch (2) gelieferte Kurvensystem in der Ebene mit den Koordinatenachsen \(B_1\) und \(B_2\) erfährt, wenn die in (1) vorkommenden Parameter verändert werden. Dann untersucht er auf den Kurven (2) die Vorzeichen der linken Seite von (3), wodurch sich der gewünschte Satz in der Form ergibt, daß man zu jedem Paare charakteristischer Oszillationszahlen im allgemeinen eine ungerade Anzahl von Wertepaaren \(B_1\) und \(B_2\) erhält.
Im zweiten Teile der Arbeit in den Math. Ann. (die Mitteilung in den Gött. Nachr. ist ein Auszug aus ihr) behandelt Verf. den Fall \(n\) reeller singulärer Punkte, wobei dann auch zunächst wieder nur reelle akzessorische Parameter zugelassen werden; die allgemeine Erledigung aller einschlägigen Fragen erfordert einen weiteren Ausbau der oszillationstheoretischen Untersuchungen, die daselbst einen weiteren Ausbau der selbst durchgeführt werden.

Citations:

JFM 39.0380.04
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References:

[1] Math. Ann., Bd. 66, S. 215 u. f. Ich werde die ganze Arbeit als Kapitel I einführen und stets mit I zitieren.
[2] Vergl. I S. 219. Math. Ann., Bd. 66.
[3] Vergl. neben den in I S. 218 ???) zitierten Arbeiten speziell: Klein, Hypergeometrische Funktion, S. 337 u. f., Schilling, Math. Ann., Bd. 44, S. 186.
[4] Klein, l. c. Hypergeometrische Funktion pag. 345 u. f.
[5] Schilling, l. c., Math. Ann., Bd. 44, pag. 186.
[6] Klein, l. c. Hypergeometrische Funktion pag. 348 u. f.
[7] Klein, l. c., Hypergeometrische Funktion, pag. 327. (Die Bezeichnung ist hier etwas geändert, so daß statt 2 und 3 in der dortigen Formel 1 und 2 zu setzen ist.)
[8] l. c. Math. Ann., Bd. 44, S. 193.
[9] Vergl. auch die Anmerkung S. 48.
[10] Journal de Liouville, Bd. 2, S. 119.
[11] Bôcher, American Bulletin, Oktober 1898 und April 1900.
[12] Vergl. I, Bôcher, American Bulletin, Oktober 1898 und April 1900, S. 245.
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