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Nouvelle méthode d’integration d’un système de \(n\) équations fonctionnelles linéaires du premier ordre de la forme \(U_i(z)=\sum^{j=n}_{j=1} A_{ij}(z) U_jf(z)\). (French) JFM 40.0388.02

Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist die allgemeine Lösung eines Systems von \(n\) homogenen linearen Funktionalgleichungen erster Ordnung von der Form \[ (1)\qquad U_i(z)=\sum^{j=n}_{j=1} A_{ij}(z)U_j[f(z)]\qquad (i = 1,2,\dots, n), \] wo \(U_1(z), U_2(z),\dots, U_n(z)\) die unbekannten Funktionen sind, unter der Voraussetzung, daß man eine Partikularlösung der elementaren Funktionalgleichung \(Bf(z) = hB(z)\) kennt, in welchere einen beliebigen Wert hat, dessen absoluter Betrag kleiner als 1 ist.
Die allgemeine Lösung des Systems (1) hat die Form \[ (2)\qquad U_i(z) = \sum^{j=n}_{j=1}\;\frac{\sum^{r=+\infty}_{r=-\infty}h^{r^2+2lr}A_{ijr}(z)[B(z)]^{2r}}{\sum^{r=+\infty}_{r=-\infty}h^{r^2+2lr}[B(z)]^{2r}}\;C_j(z), \] wo \(l\) eine beliebige Größe ist und die \(C_j(z)\) beliebige der Funktion \(f(z)\) gegenüber automorphe Funktionen bedeuten.
Die Partikularlösungen (Koeffizienten von \(C_j(z)\) in (2)) werden vom Verf. funktionentheoretisch untersucht, insbesondere in bezug auf ihre singulären Punkte, soweit dies mit den bisherigen Hülfsmitteln der Analysis möglich ist.
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Full Text: DOI Numdam EuDML