Sur l’intégration de certaines inéquations fonctionnelles. (French) JFM 40.0389.01

Denjoy, A.

C. R. 148, 981-983 (1909).

\(\psi\) und \(\varphi\) sind gegebene Funktionen; \(u(x)\) soll so bestimmt werden, daß \[ \int^b_a\psi[u(x),u(\xi),x,\xi] d\xi > \varphi[x,u(x)] \] wird, oder es soll wenigstens die Ungleichung in eine andere ohne Integralzeichen transformiert werden.
Als Anwendung ergibt sich der Satz: Damit die Reihe mit positiven abnehmenden Gliedern \(\sum^\infty_1{}_\nu u_\nu\) die Bedingung \(\sum^\infty_n{}_\nu u_\nu < hn + u_n\) erfülle, ist notwendig und hinreichend, daß für \(n' > n\): \[ \frac{u_n}{u_{n'}} > h'\left(\frac{n'}{n}\right)\text{ ist, wo }h'\text{ und } \alpha \text{ von }n\text{ und }n'\text{ nicht abhängen.} \] Außerdem wird eine Anwendung auf das Anwachsen der Nullstellen und des absoluten Betrages einer ganzen Funktion gemacht.

Reviewer: Faber, Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. B. Funktionalgleichungen.