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Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen unabhängigen Variabeln. (German) JFM 40.0391.02
Die Arbeit – die der Verf. auf dem IV. internationalen Mathematiker-Kongreß hatte vortragen wollen – beginnt mit der Bemerkung, wie man eine Funktionalgleichung auf ein Gleichungssystem mit unendlichvielen Unbekannten zurückführen kann. Die gesuchte Lösung \(\varphi(s)\) der gegebenen Funktionalgleichung \[ R(\varphi(s))=0 \] ist als bekannt anzusehen, wenn man ihre Fourier-Koeffizienten \[ x_n=\int^{+\pi}_{-\pi}\varphi(s) \cos ns ds, \quad y_n=\int^\pi_{-\pi}\varphi(s)\sin nsds\quad (n= 0,1, 2,\dots ) \] kennt; die gegebene Funktionalgleichung geht dann in ein unendliches Gleichungssystem für die unendlichvielen Größen \(x_n,y_n\) über.
Sodann stellt der Verf. diejenigen Definitionen zusammen, die er im Gebiete der Theorie der Funktionen unendlich vieler Variabeln in seiner vierten Note über lineare Integralgleichungen (Gött. Nachr. 1906, S. 157-227) gegeben hat. Es sind dies die Begriffe der Stetigkeit, der beschränkten Linearform und Bilinearform und der Begriff der stetigen quadratischen Form unendlichvieler Variabeln. Von seinen daselbst erhaltenen Resultaten erwähnt er sein Theorem über die orthogonale Transformation einer quadratischen Form auf eine Quadratsumme und ein damit zusammenhängendes Theorem über lineare Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. Die Theorie der Integralgleichungen, der linearen Differentialgleichungen, der Variationsrechnung wird durch diese Theorie wesentlich gefördert.
Sodann stellt der Verf. den Begriff der analytischen Funktionen unendlich vieler Variabeln auf, der von H. v. Koch eingeführt wurde. Wenn die unendliche Reihe \[ {\mathfrak P}(x_1,x_2,\dots)=c+\sum_{(p)}c_px_p +\sum_{(p,q)} c_{pq}x_px_q+\sum_{(p,q,r)} c_{pqr}x_px_qx_r+\cdots+ \sum_{(n)}\sum_{(p_1,p_2,\dots,p_n)} c_{p_1p_2\dots p_n}x_{p_1}x_{p_2}\dots x_{p_n} \] für jedes die Ungleichungen \[ | x_n|\leqq \varepsilon_n\quad (n = 1, 2,\dots ) \] erfüllende Wertsystem absolut konvergiert, so heiße \({\mathfrak P}\) eine analytische Funktion der Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots\) Ein Beispiel hierfür ist die Hillsche Determinante: \[ \begin{vmatrix} \l\;& \l\;& \l\;& \l\\ 1+x_{11} & x_{12} & x_{13} & \dots\\ x_{21} & 1+x_{22} & x_{23} & \dots\\ x_{31} & 1+x_{32} & 1+x_{33} & \dots\\ \hdotsfor4 \end{vmatrix} \] usw. Es folgt nun der Begriff der analytischen Fortsetzung und eine Reihe weiterer Beispiele. Sodann beweist der Verf. den fundamentalen Satz, daß eine analytische Funktion von unendlich vielen analytischen Funktionen unendlichvieler Variabeln wiederum eine analytische Funktion dieser Variabeln ist. Nach Erwähnung eines von H. von Koch herrührenden Satzes über die Auflösung unendlichvieler analytischer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten schließt Verf. mit einer beweiskritischen Betrachtung von Konvergenzbeweisen.

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References:
[1] Vgl. meinevierte undfünfte Mitteilung über dieGrundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaften der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1906, S. 157–227 und 439–480].
[2] Das hier bezeichnete wichtige Problem, dessen Behandlung ich in meiner in Anm. 2) zitirtenvierten Mitteilung aufgenommen habe, ist seitdem wesentlich in folgenden Arbeiten gefördert werden:E. Hellinger undO. Toeplitz,Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizn [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1906, S. 351–355].O. Toeplitz,Die Jacobi’sche Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen [Ibid., Jahrgang 1907, S. 101–109].O. Toeplitz,Zur Transformation der Scharen bilinearer Formen von unendlichvielen Veränderlichen [Ibid., Jahrgang 1907, S. no-115].E. Hellinger,Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlichvielen Variablen. Inaugural-Dissertation (Göttingen 1907).E. Schmidt,Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXV (1. Semester 1908), S. 53–77].
[3] Vgl. meine zweite Mitteilung über dieGrundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1904, S. 213–259].
[4] Eine Anwendung der Theorie der Funktionen unendlichvieler Variabler auf die Variationsrechnung findet man in der Inaugural-Dissertation vonWilliam DeWese Cairns:Die Anwendung der Integralgleichungen auf die zweite Variation bei isoperimetrischen Problemen (Göttingen 1907).
[5] Der Begriff der analytischen Funktion unendlichvieler Variabler komtnt schon beiHelge von Koch,Sur les systèmes d’ordre fini d’équations differentielles [Öfversigt af Kongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Forhandlingar, Bd. LVI (1899), S. 395–411] vor.
[6] Vgl.Helge von Koch,Sur les fonctions implicites definies par une infinite d’equations simultanées [Bulletin de la Société Mathématique de France, Bd. XXVII (1899), S. 215–227]. Dieser Satz stimmt auch wesentlich mit einem vonE. Schmidt für Integralgleichungen bewiesenen Satze übereinE. Schmidt,Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil [Mathematische Annalen, Bd. LXV (1908), S. 370–399].
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