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Les systèmes d’équations aux dérivées partielles. (French) JFM 40.0411.01

Paris Gauthier-Villars. XXVII+590 S. \(8^\circ\) (1909).
In dem vorliegenden Werke stellt Verf. alle seine Arbeiten, die er in verschiedenen Zeitschriften in den letzten Jahrzehnten über Systeme von partiellen Differentialgleichungen veröffentlicht hat, über ein Gebiet, das bis jetzt noch verhältnismäßig wenig untersucht worden ist, zusammen. In einer ausführlichen Einleitung gibt er zunächst einen geschichtlichen Überblick über den Gegenstand, aus dem hervorgeht, wie Verf. zu seinen Studien über partielle Differentialgleichungen geführt worden ist im Anschluß an die Arbeiten von Méray, insbesondere die Arbeit: Démonstration générale de l’existence des intégrales des équations aux dérivées partielles (Journ. de Math. (3) 6, 235-266, 1880). – Alle Betrachtungen dieses Werkes gelten in gleicher Weise für reelle wie für komplexe Variabeln.
Die Kap. I, II, III, IV und VIII enthalten in eigenartiger Darstellung bekannte Gebiete der Analysis, sie sind aber, wie Verf. sagt, hier gegeben, um jüngeren Lesern das Studium des Werkes zu erleichtern, für dessen Lektüre die Worte der Einleitung gelten: “Sa lecture exige, il est vrai, un esprit exercé et une attention soutenue, indispensables pour bien saisir, à travers la complication des détails, l’unit’de la méthode et des résultats; mais les connaissances positives dont elle nécessite l’acquisition sont, comme on le verra, fort peu étendues.” Man findet in diesen Kapiteln Ausführungen über Stetigkeitsbetrachtungen, über Reihen im allgemeinen und Reihen, die nach positiven ganzen Potenzen der vorkommenden Variabeln fortschreiten; über holotrope Funktionen, d. h. über Funktionen \(f(x,y,\dots)\), die in der Umgebung irgendeines Punktes \(x_0,y_0,\dots\) eines Gebietes sich nach positiven ganzen Potenzen von \(x-x_0,y-y_0,\dots\) entwickeln lassen, über eine gewisse Methode der Fortsetzung solcher Funktionen “calcul des fonctions par cheminement” und über implizite Funktionen.
In den Kap. V, VI, VII, IX, X findet man die aus den Arbeiten des Verf. bekannten allgemeinen Untersuchungen über schematische Funktionen (fonctions schématiques) und ihre “coupures”; über die Anfangsbedingungen bei Differentialsystemen die nach verschiedenen Ableitungen der Unbekannten aufgelöst sind, Existenztheoreme, Zurückführung auf Quadraturen und über orthonome Systeme. – Gewisse interessante spezielle Betrachtungen finden sich im Kap. XII für den Fall, wo die Anfangsbedingungen bei der schematischen, schon von Méray eingeführten Schreibweise eine Verteilung zulassen, die Verf. in seinen Arbeiten regulär genannt hat (disposition régulière); und im XI. Kap. werden als Anwendungen der allgemeinen Theorien die Untersuchungen des Verf. über zwei spezielle Differentialsysteme behandelt, die hervorgehen 1. aus der Theorie der endlichen Deformationen im Raume von \(n\) Dimensionen und 2. aus der Bestimmung der krummlimgen orthogonalen Koordinatensysteme mit \(n\) Variabeln. – Das Kap. XIII enthält die Beantwortung der Frage nach den Systemen partieller Differentialgleichungen, deren Integration sich auf die von totalen Differentialgleichungen zurückführen läßt, und Kap. XIV endlich wieder allgemeine Untersuchungen über die Zurückführung eines beliebigen Systems auf eine vollständig integrierbare Form.

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