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Caratteristiche multiple e problema di Cauchy. (Italian) JFM 40.0415.02
Verf. beschäftigt sich mit Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Während die Theorie der Differentialgleichungen mit einfachen Charakteristiken genauer untersucht ist, sind mehrfache Charakteristiken bisher wenig studiert. Im allgemeinen ist das Cauchysche Problem vom Standpunkte der Funktionen reeller Variablen für solche Charakteristiken nicht immer lösbar. Verf. behandelt in der vorliegenden Arbeit zunächst den Fall doppelter und dreifacher Charakteristiken. Die für doppelte Charakteristiken erhaltenen Resultate sprechen sich in drei Sätzen aus, die eine Analogie zu drei aus der Theorie der einfachen Charakteristiken bekannten Sätzen aufweisen (Goursat, Équations aux dér. part. d. sec. ordre 2, 299-302, 303-309, 1898; E. E. Levi, Rom. Acc. L. Rend. (5) \(17_1\), 331-339; F. d. M. 39, 424, 1908, JFM 39.0424.01).
I. Es gibt drei Typen von doppelten Charakteristiken: \(A_2\)) die Charakteristik \(n\)-ter Ordnung ist in nur zwei (eventuell zusammenfallenden) Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung enthalten. – \(B_2\)) Die Charakteristik \(n\)-ter Ordnung ist in einer doppelt unendlichen Mannigfaltigkeit von Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung, im allgemeinen in einer Gesamtheit von Charakteristiken \((n+h)\)-ter Ordnung, die von \(2h\) willkürlichen Konstanten abhängig sind, enthalten. - \(C_2\)) Die Charakteristiken \((n+1)\)-ter Ordnung, welche die \(n\)-ter Ordnung enthalten, hängen von einer willkürlichen Funktion ab. – Zwei Flächen, die in einem Punkte einer Charakteristik vom Typus \(B_2\)) eine Berührung der Ordnung \(n+h+1\) haben, besitzen in jedem Punkte derselben Charakteristik wenigstens eine Berührung der Ordnung \(n+h\); dies geschieht nicht für eine Charakteristik vom Typus \(C_2\)). Eine Charakteristik vom Typus \(A_2\)) ist im allgemeinen nur in höchstens 2 Integralflächen enthalten.
II. Eine analytische Charakteristik vom Typus \(B_2\)) oder \(C_2\)) gehört immer unendlich vielen Integralflächen an, die in der Umgebung der Charakteristiken analytisch sind; eine solche Fläche wird völlig bestimmt, wenn man von ihr verlangt, daß sie außerdem noch durch eine Kurve hindurchgeht, die die Charakteristiken in einem Punkte trifft.
III. Wenn in einem Gebiete \(\Delta\) des Raumes \(S\) die Gleichung immer eine doppelte Charakteristik besitzt, so ist diese immer vom Typus \(A_2\)) oder \(B_2\)). Wenn in \(\Delta\) alle Charakteristiken reell sind, aber \(v\) von ihnen doppelt und vom Typus \(B_2\)) und die übrigen einfach, so ist das Cauchysche Problem auch vom Standpunkte der Funktionen reeller Variabeln lösbar.

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References:
[1] Goursat,Leçons sur l’intégration des équations aux derivées partielles du second ordre. Vol. II, Cap. X e specialmente pag. 299–302.
[2] Goursat, Cap. X, n. 211, pag. 303–309.
[3] E. E. Levi,Sul problema di Cauchy per le equazioni a caratteristiche reali e distinte. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XVIII, serie 5.a, 1.o sem. 1908, pag. 331–339. Ivi sono anche date altre indicazioni bibliografiche relative ai pochi casi particolari in cui questo teorema era stato dimostrato prima. Vedi anche le altre mie Note:Sul problema di Cauchy per le equazioni lineari in due variabili indipendenti a caratteristiche reali. Rendiconti dell’Istituto Lombardo, vol. XLI, serie II, Nota I (pag. 408–428), Nota II (pag. 691–712). Citerò in seguito questi miei lavori con “ Lincei ”, “ Lombardo I ”, “ Lombardo II ”. Noterò qui che i metodi usati in queste ultime note possono servire a stabilire altri teoremi di esistenza analoghi a questi: ad es. il teorema di esistenza che si presenta nel caso della estensione del metodo diRiemann alle equazioni di ordine superiore al secondo, quale è stata indicata dai sigg.Holmgren (Sur l’extension de la méthode d’intégration de Riemann. Archiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 1, 1903–04) eBurgatti (Sull’estensione del metodo di integrazione di Riemann, ecc. Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, 1906 (2.o sem.)).
[4] È noto l’esempio dellaKovalevski (Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Crelles Journal, 80). Vedi anche gli altri delRiquier (Sur une question fondamentale du calcul intégral. Acta Math., Vol. 23, n. 20, pag. 251–259). Vedi anche la breve, ma interessante nota delLe Roux nel Bulletin diDarboux, 1895 (vol. 19, 2.a serie), pag. 122–8:Sur les intégrales analytiques de l’équation \(\frac{{\partial ^2 z}}{{\partial x^2 }} = \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\) .
[5] Holmgren,Om Cauchys problem vid de lineära etc.... (Arkiv för Mathematik Astronomi och Fysik, 1906) ed anche la mia Nota:Sul problema di Cauchy (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1907, 2.o sem., serie 5.a, vol. XVI). E vedi anche “ Lombardo II ”, § IV, n. 5.
[6] E vonWeber nell’articoloPartielle Differentialgleichungen nell’Encyclopädie der Math. Wiss. [Bd. II. A 5, pag. 297, nota 1.a] osserva che dal punto di vista delle funzioni di variabili reali poche speciali classi di equazioni sono state studiate, ed in particolare manca una estensione del teorema di esistenza diCauchy-Lipschitz per le equazioni differenziali ordinarie. Una tale estensione non è sempre possibile: il problema si deve quindi porre nel ricercare quando essa è possibile. Del problema diCauchy dal punto di vista delle funzioni di variabili reali si è occupato assai il prof.Arzelà: ma con scopi del tutto diversi da quelli che io qui mi propongo: egli cercò di maggiormente limitare le condizioni per l’esistenza delle soluzioni delle equazioni di primo ordine per cui il problema diCauchy già risulta potersi risolvere dall’ordinaria teoria delle caratteristiche (o, con condizioni sovrabbondanti, dal teorema III enunciato più sopra a pag. 162). Potrei dire che le ricerche del prof.Arzelà hanno carattere intensivo: queste mie carattere estensivo.
[7] Goursat, vol. II, cap. X, pag. 300.
[8] Ricordo che le equazioni (9) si ottengono esprimendo che le (3) (4) (8) sono compatibili colle \(\frac{{\delta ^\alpha F}}{{\delta y^\alpha }} = 0\) . Cfr.Goursat, vol. II, cap. X, pag. 300 e ss., e più diffusamente per le equazioni di 2.o ordine, vol. I, cap. IV, pag. 181–183.
[9] Cfr. “ Lombardo I ” § III, n.o 4, pag. 427.
[10] Cosi sei 1=|=i 2=|=0 coll’operazione \(X_2 X_1^{i_1 } X_2^{i_2 - 1} \ldots X_m^{i_m } \) . Confronta riguardo quest’ultima affermazione “ Lombardo I ”, § III, n.o 5, pag. 428.
[11] In particolare: se \(\tau\)1=\(\tau\)2=...=\(\tau\)m=1 vi sonoh+1 operazioni indipendenti per ogni ordineh<n come è mostrato in “ Lombardo II ” § IV, n. 1: se, come sempre nel seguito, con \(\tau\) indichiamo il massimo dei numeri \(\tau\)1, \(\tau\)2, ... \(\tau\) m , vi sonoh+1 operazioni indipendenti di ordineh \(\tau\) come fu enunciato in “ Lombardo II ” § IV, n. 5.
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