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Des équations majorantes. (French) JFM 40.0456.05
Sind \(n\) Gleichungen \(x_i-f_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0(i=1,\dots,n)\) vorgelegt, wo die \(f_i\) in der Umgebung der Stelle \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\) reguläre analytische Funktionen sind, dann kann man unter geeigneten Voraussetzungen mittels der Newtonschen Näherungsmethode ein Lösungssystem jener Gleichungen finden, indem man als erste Näherungen jene Werte wählt, die sich aus der Beschränkung der Gleichungen auf ihre linearen Glieder ergeben; der Beweis wird geführt, indem neben den Potenzreihen für die \(f_i\) beliebige dazu majorante Reihen der gleichen Rechnung unterworfen werden.
Hängen die \(f_i\) noch von einer weiteren Veränderlichen \(t\) analytisch ab so kann man auf diese Weise die \(x_i\) als Potenzreihen von \(t\) darstellen. Ferner ergibt sich im gleichen Zusammenhang ein Beweis des sog. Weierstraßschen Vorbereitungssatzes.
Schließlich betrachtet der Verf. in sehr lockerer Verknüpfung mit dem Vorhergehenden ganze Funktionen \(G(z)\) der Ordnung Null und zeigt insbesondere daß es darunter solche gibt, die auf unendlich vielen; darunter beliebig großen Kreisen von der Größenordnung \(| z|^{\frac{1}{\mu}}\) sind.
Durchgängig wäre nach meiner Auffassung eine weniger knappe Darstellung für das Verständnis erwünscht.

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Full Text: DOI Numdam EuDML