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Der Riemann-Rochsche Satz für algebraische Funktionen zweier Veränderlichen. (German) JFM 40.0464.03
Es lag nahe, die Methode, mit der Hensel den Riemann-Rochschen Satz für algebraische Funktionen einer Veränderlichen bewiesen hat, auch anzuwenden auf den Beweis des entsprechenden Satzes der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. Hierzu war zunächst notwendig, die Primteiler bei algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen zu definieren und dann die Aufgabe zu lösen, für die Vielfachen eines gegebenen Divisors ein Fundamentalsystem zu finden. Das bedeutet folgendes. Es sei \(F(z,x,y)=0\) die den Körper definierende Gleichung. Sie sei in \(z\) vom \(n\)-ten Grade. Ferner sei \(\mathfrak Q\) ein beliebiger Divisor. Dann heißt ein System von \(n\) Funktionen \[ z_1,z_2,\dots,z_n \] ein Fundamentalsystem für die Vielfachen des Divisors \(\mathfrak Q\) wenn sich iede Funktion des Körpers, die bis auf die unendlich großen Werte von \(x\) und \(u\) ein ganzes Vielfaches von \(\mathfrak Q\) ist, in der Form darstellen läßt: \[ (1)\quad g_1z_1+g_2z_2+\cdots +g_nz_n, \] wo die \(g\) ganze rationale Funktionen von \(x, y\) sind, und wenn umgekehrt jede Funktion der Form (1) ein Vielfaches von \(\mathfrak Q\) ist.
Alles dies ist von Hensel erledigt. (Siehe K. Hensel, Über die Theorie der algebraischen Funktionen zweier Variabeln. Deutsche Math.-Ver. 7, 1899; K. Hensel, Über eine neue Theorie der algebraischen Funktionen zweier Variabeln. Deutsche Math.-Ver. 8, 1900, und eine Arbeit desselben Verf. mit demselben Titel in Acta Math. 23, 1900.)
Es mögen die Funktionen \(z_1\) für unendliches \(x, y\) unendlich werden von der Ordnung \((r_i,s_i)\). Nimmt man dann in (1) für die \(g_i\) ganze rationale Funktionen von \(x, y\) höchstens von der Ordnung \(r-r_i\) in \(x\) und \(s-s_i\) in \(y\), so ist die durch (1) dargestellte Funktion für unendliches \(x,y\) höchstens von der Ordnung \((r, s)\). Aber man kann im allgemeinen die Funktionen \(z_i\) des Fundamentalsystems nicht so wählen, daß auch umgekehrt jedes Vielfache von \(\mathfrak Q\), das für unendliches \(x,y\) höchstens von der Ordnung \((r, s)\) ist, sich in der angegebenen Weise darstellen läßt, während bei den algebraischen Funktionen einer Veränderlichen das Analoge möglich ist.
Der Verf. der vorliegenden Arbeit zeigt, daß man ein Fundamentalsystem von \(\sigma\) Funktionen \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_\sigma\) des Körpers mit folgenden Eigenschaften bestimmen kann: Jedes Vielfache eines beliebigen Divisors \(\mathfrak Q\), das für unendliches \(\mu\) höchstens von der gegebenen Ordnung \(\mu\) unendlich wird, läßt sich in der Form darstellen: \[ (2)\quad g_1\xi_1+g_2\xi_2+\cdots+g_\sigma\xi_\sigma, \] wo die \(g_i\) ganze rationale Funktionen von \(x\) allein sind. Ist die Ordnung von \(\xi_i\) für unendliches \(x\) gleich \(r_i\), so ist eine Funktion der Form (2) dann und nur dann für unendliches \(x\) höchstens von der Ordnung \(\lambda\), wenn der Grad der \(g_i\) höchstens gleich \(\lambda-r_i\) ist (S. 315). Die Zahl \(\sigma\) hängt von \(\mathfrak Q\) und von der Zahl \(\mu\) ab. Dieser Satz bildet die Grundlage für den Beweis des Riemann-Rochschen Satzes. Der Gang des Beweises ist von dem entsprechenden bei den Funktionen einer Veränderlichen naturgemäß ganz verschieden. Der Beweis ist aber nur richtig, wenn man von gewissen singulären Primteilern, die vom Verf. Punktprimteiler genannt werden, absieht. (Siehe die Berichtigung des Verf. Deutsche Math.-Ver. 19, 172 fg.)
Die Arbeit enthält außer dem Beweise des Riemann-Roch schen Satzes noch einige rein analytische Definitionen und Beweise von schon bekannten Sätzen, aber unter den allgemeinsten Voraussetzungen. Z. B. eine Ergänzung der Henselschen Definition der Primteiler, indem gewisse zu den singulären Stellen gehörige Primteiler, die schon erwähnten Punktprimteiler, als den von Hensel allein berücksichtigten gleichberechtigt nachgewiesen werden. Ferner sei noch hingewiesen auf die Definition der Ergänzungsklassen in bezug auf einen Primteiler (§ 9).
Reviewer: Jung, H. W. E.

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Full Text: EuDML