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Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe. (German) JFM 40.0468.02
Es wird in dieser Abhandlung zum ersten Male der “Nachweis geführt, daß es möglich ist, die irgendwie durch \(p\) nicht zerstückende Rückkehrschnitte in eine \(2 p\)-fach zusammenhängende Fläche verwandelte geschlossene Riemannsche Fläche vom Geschlecht \(p\) umkehrbar eindeutig und konform auf einen schlichten Bereich mit linearer Ränderzuordnung abzubilden, eine Aufgabe, welche gleichbedeutend ist mit dem Problem, eine beliebig gegebene algebraische Funktion vom Geschlecht \(p\) durch automorphe Funktionen des Schottkyschen Typus zu uniformisieren im Sinne des von F. Klein 1882 (Math. Ann. 19) aufgestellten Fundamentaltheorems.
Damit ist dann zugleich auch zum ersten Male die vom Verf. im Jahresbericht 1906 (“über die konforme Abbildung usw.”) betrachtete klassische Abbildungsaufgabe erledigt, einen schlichten \((p+1)\)-fach zusammenhängenden Bereich auf einen von \(p+1\) Vollkreisen begrenzten Bereich abzubilden.
Zunächst handelt es sich um den Beweis des Unitätssatzes, nämlich des Satzes, daß die erwähnte Abbildungs-, bzw. Uniformisierungsaufgabe, abgesehen von einer linearen Substitution, nicht mehr als eine Lösung haben kann, nachdem die \(p\) Rückkehrschnitte gewählt sind.
Dieser Nachweis gelingt wesentlich nach der vom Verf. im Jahresbericht 1906 entwickelten Methode, indem man den Satz beweist: die Summe der Quadrate der Umfänge der bei Vervielfältigung eines Fundamentalbereichs des Schottkyschen Typus entsprechend den Substitutionen der Gruppe sich ergebenden Bildkurven der Begrenzungslinien des Fundamentalbereichs ist konvergent.
Nach dem Beweise des Unitätssatzes handelt es sich zweitens um den Existenzbeweis. Dieser läßt sich sowohl auf das vom Verf. in seiner dritten Mitteilung “über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven” entwickelte allgemeine Abbildungsprinzip gründen, indem man dieses Prinzip auf die zur gesuchten Uniformisierungstranszendenten gehörende Überlagerungsfläche anwendet, als auch auf das bereits in einer “Voranzeige” (Gött. Nachr. 1908, 112 ff.) mitgeteilte “iterierende Verfahren”, indem man von dem Uniformisierungsproblem zu folgender Abbildungsaufgabe übergeht: Einen gegebenen \(2p\)-fach zusammenhängenden schlichten Bereich mit einander paarweise analytisch zugeordneten Randkurven umkehrbar eindeutigkonform auf einen (unbekannten) Bereich derselben Beschaffenheit, jedoch mitlinear zugeordneten Randkurven abzubilden.
Für die Durchführung des Existenzbeweises ist der folgende Hülfssatz von fundamentaler Bedeutung: “Verzerrungssatz” (Satz von der Endlichkeit der Verzerrung bei konformer Abbildung): “Es sei \(\varphi(z)\) eine analytische Funktion von \(z\), welche für das Gebiet \(| z|<R\) regulär und eindeutig erklärt ist. Die Funktion \(\varphi(z)\) soll ferner die Eigenschaft besitzen, jeden Wert, welchen sie im Innern des genannten Kreises annimmt, in diesem Innern überhaupt nur einmal anzunehmen, oder, anders ausgedrückt, die Eigenschaft, eine umkehrbar eindeutige konforme Abbildung des Gebietes \(| z| <R\) auf ein schlichtes, den unendlich fernen Punkt nicht enthaltendes Gebiet zu vermitteln. Sind dann \(z\) und \(z'\) irgend zwei Punkte der \(z\)-Ebene, deren Abstand vom Nullpunkte \(\leqq \varrho<R\) ist, so gibt es eine von der Wahl dieser Punkte und auch von der Wahl der Funktion \(\varphi(z)\) unabhängige, lediglich von \(\varrho\) abhängende positive von Null verschiedene Größe \(q>1\), sodaß man hat \(q<\frac{\varphi'(z)}{\varphi'('z)}\mid <\frac{1}{q}\), unter \(\varphi'\) die Ableitung von \(\varphi\) verstanden.”
Die Anwendung dieses Satzes führt z. B. zu dem Resultate:
Satz: Hat ein von \(p+1\) geschlossenen regulären analytiscnen Randkurven begrenzter schlichter Bereich die Eigenschaft, daß man mit demselben im Schwarzschen analytischen Sinne dieselbe unendliche Folge von Spiegelungsoperationen vornehmen kann, welche ein von \(p+1\) Vollkreisen begrenzter Bereich im Sinne der Transformation durch reziproke Radien gestattet, so ist der Bereich ein von \(p+1\) Vollkreisen begrenzter Bereich, und die erwähnten analytischen Spiegelungen sind Transformationen durch reziproke Radien.

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