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Über die aus den singulären Stellen einer analytischen Funktion mehrerer Veränderlichen bestehenden Gebilde. (German) JFM 40.0472.01

Der Verf. hat schon durch mehrere tief eindringende Abhandlungen (F. d. M. 36, 483, 1905, JFM 36.0483.01, JFM 36.0483.02; 37, 443, 1906, JFM 37.0443.01) teils vom Weierstraßschen reihentheoretischen Standpunkt aus, teils mit Benutzung des Cauchyschen Integralsatzes die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen bereichert. Indem er auf den Ergebnissen dieser Arbeiten, deren Kenntnis vom Leser nicht unbedingt vorausgesetzt wird, weiterbaut, gelangt er in der vorliegenden Abhandlung zu einem Satze, der künftig eine der wichtigsten Grundlagen für weitere Forschungen bilden dürfte. Er beweist nämlich zunächst folgenden Satz, der dann in nachher näher anzugebender Weise erweitert wird.
Es sei \(x=0, y=0\) eine singuläre Stelle für einen gewissen im Gebiete \(| x| <\varrho, | y| <\varrho'\) eindeutigen Zweig \(f(x,y)\) einer analytischen Funktion von \(x\) und \(y\). Zu jedem der Bedingung \(| \xi| <\varrho\) genügenden Werte \(\xi\) möge für \(f(x,y)\) eine und nur eine singuläre Stelle \((\xi,\eta)=(\xi,\varphi(\xi))\) existieren, deren \(y\)-Koordinate \(\eta=\varphi(\xi)\) dem absoluten Betrage nach unterhalb \(\varrho'\) liegt, und es möge ferner \(\eta=\varphi(\xi)\) für \(| \xi| <\varrho\) einen mit \(\xi\) stetig sich ändernden Wert besitzen. Alsdann stellt \(\eta=\varphi(\xi)\) notwendig eine für \(\xi=0\) reguläre analytische Funktion von \(\xi\) dar.
Er führt den Beweis, indem er \(f(x,y)\) nach Potenzen von \(x\) und \(y-y_0\) entwickelt, wo \(\frac{\varrho'}{5}<(y_0)<\frac{2\varrho'}{5}\) ist. Diese Reihe konvergiert, falls \(x\) in der Umgebung des Nullpunktes liegt und \((y-y_0)<| \varphi(x)-y_0|\) ist. Die positive Größe \(R_x=| \varphi(x)-y_0|\) genügt als Funktion von \(x=u+iv\) der Differentialgleichung \(\frac{\partial^2\log R_x}{\partial u^2}+\frac{\partial^2\log R_x}{\partial v^2}=0\).
Der Beweis des Verf. stützt sich auf einen früher von ihm bewiesenen Satz; ein zweiter diesen Hülfssatz vermeidender Beweis wird angedeutet. Ist nun \(\varphi(x)=U+iV\), so folgt leicht, daß \(\varphi(x)\) entweder eine Potenzreihe von \(u+iv\) oder von \(u-iv\) ist; der letztere Fall wird nach der Substitution \(z=x+yi\) als unmöglich erkannt.
Der bewiesene Satz wird nach drei Richtungen erweitert: Erstens erweist sich die bezüglich der Eindeutigkeit des Funktionszweiges \(f(x,y)\) gemachte Voraussetzung als überflüssig; zweitens reicht es bereits hin, wenn zu jedem dem Gebiete \(| \xi|<\varrho\) angehörigen Werte \(\xi\) die Existenz höchstens einer singulären Stelle \(\xi,\eta\) vorausgesetzt wird, und drittens kann auf die Voraussetzung betreffend die Stetigkeit von \(\varphi(\xi)\) verzichtet werden.
Außerdem wird folgende Erweiterung des Satzes bewiesen: Gehören unter den gleichen Voraussetzungen wie soeben zu jedem \(\xi\) höchstens \(r\) singuläre Stellen \((\xi,\eta_1), (\xi,\eta_2),\dots,(\xi,\eta_r)\), so sind die \(r\) elementaren symmetrischen Funktionen der \(\eta\) analytische Funktionen von \(\xi\).
Sämtliche Resultate werden auch für beliebig viele Veränderliche bewiesen.

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References:

[1] Vgl. hierüber meinen Vortrag ”Über neuere Untersuchungen auf dem Gebiete der analytischen Funktionen mehrerer Variablen” (Jahresber. d. Deutschen Mathem-Vereinigung 16 (1907), p. 223), in welchem ich eines der Resultate der vorliegenden Arbeit bereits kurz angedeutet habe.
[2] Genauer: ”aus monogenen analytischen Gebilden (n) ter Stufe (Weierstrass, Werke III, p. 101) zusammengesetzt sein müssen”, wobein die Anzahl der unabhängigen komplexen Veränderlichen bedeutet.
[3] Vgl. über diesen sowie über die im Vorstehenden berührten Dinge des NäherenWeierstrass, ”Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze” (Abhandl. a. d. Funktionenlehre p. 107=Werke II, p. 135) §§ 1–3. (Doch wird von diesen Untersuchungen im folgenden nirgends Gebrauch gemacht).
[4] Selbstredend bleibt letzteres auch dann noch richtig, wenn die Voraussetzungen nicht für die Variablenx, x’, ..., y selbst, sondern für irgend welche, durch eine homogene lineare Transformation aus ihnen hervorgehende Variable zutreffen.
[5] Offenbar gehörty=0 dieser Gesamtheit stets an.
[6] Vgl. Math. Ann. 62 (1906), insb. p. 3, p. 24 und p. 25 (erste Fussunote).
[7] Vgl. a. a. O. Math. Ann. 62 (1906), insb. p. 47–48. (Die Anwendung dieses Korollars kann bei den nachfolgenden Untersuchungen auch umgangen werden, vergl. p. 65, Fussnote 1).
[8] Während beim Satze (I) über den BereichB nichts weiter vorausgesetzt zu werden braucht, als dass er eineabgeschlossene Punktmenge darstelle, so muss beim Satze (Ia) der BereichB auch einzusammenhängender sein. (Genaueres siehe a. a. O. Math. Ann. 62 (1906), insb. p. 8., Fussnote.) In der vorliegenden Abhandlung finden beide Sätze nur für den Fall einer Kreisfläche Anwendung.
[9] Vgl. a. a. O. Math. Ann. 62 (1906) insb., p. 28.
[10] Vgl. z.B. Jordan, Cours d’analyse I (1893), p. 72.
[11] In der Sprache der Potentialtheorie: ”Das logarithmische Potential der (homogen mit Masse belegt gedachten) Kreisperipherie |y|=k ist im Innern dieses Kreises konstant.”
[12] Die Anwendung des Satzes (Ia) kann vermieden werden, indem man die im Texte nur für den Mittelpunktx=0 des Kreises |x| angestellte Betrachtung mit Hilfe des Poissoxschen Integrals in ähnlicher Weise für einen beliebigen inneren Punkt dieses Kreises durchführt.
[13] In beiden Fällen zeigen sich in der Tat die fürR x ’ geltendem Bedingungen befriedigt; die hier noch verbleibende Unbestimmtheit ist also keineswegs auf eine unvollständige Ausnutzung jener Bedingungen zurückzuführen.
[14] Dieser zweite Fall kann, wie sich dann unmittelbar ergibt, überhaupt nur für solchex eintreten, für welche die in den Gleichungen (5) auftretenden partiellen Ableitungen sämtlich null sind.
[15] Denselben habe ich für den Falleindeutiger Funktionszweige in etwas allgemeinerer Form bereits in der Abhandlung “Einige Folgerungen aus derCauchy’schen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen{” (Münch. Sitz.-Ber. 36 (1906) p. 223) veröffentlicht.}
[16] Diese Ausdrucksweise soll (wie übrigens auch aus dem weiteren Wotlaute hervorgeht) keineswegs besagen, dass der betrachtete Funktionszweig sich in der Umgebung der Stellex=o,y=o eindeutig verhalten müsse. Ist der Funktionszweig in der Umgebung vonx=0, y=0 nicht eindeutig (wobei auch Verzweigungen unendlich hoher Ordnung zugelassen werden sollen), so werden als demselben angehörig alle diejenigen (eindeutigen und regulären) Bestimmungen der Funktion angesehen, deren Gültigkeitsgebiet in jede beliebige Nähe des Punktesx=o, y=o vordringt, und zu welchen man voneiner derselben aus durch analytische Fortsetzung längs eines dem Gebiete |x|<r,|y|<r angehörigen Weges gelangen kann, wie klein auchr gewählt werde.
[17] Die gegenteilige Annahme führt, wie leicht zu sehen, auf einen Widerspruch. (Eindirekter Nachweis dafür ergibt sich ganz unmittelbar durch Anwendung des sog.Heine-Borel’schen Theorems, Jahresber. d. D. Mathem.-Ver. II Erg.–Bd. 1908, p. 77).
[18] Wie p. 68 Fussnote 3.
[19] Dasselbe enthält jedesmal zum mindesten eine gewisse Umgebung des Punktes (x o ,ke iv ).
[20] Vgl. p. 68 Fussnote.
[21] Vgl. p. 68, Fussn.
[22] Die betreffende Schlussweise findet man überdies auf p. 69 (Zeile 14 ff.) in extenso dargestellt.
[23] ote über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen,Math. Ann. 52 (1899), p. 462.
[24] Vgl. a. den zweiten Fall im Beweise des § 3.
[25] Anstelle der Kreisfläche |y|<{\(\sigma\)} kann auch hier ein beliebiges, im Endlichen gelegenes Gebiet dery. Ebene treten.
[26] S. p. 75, Fussn.
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