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Sur le nombre des intégrales doubles de seconde espèce de certaines surfaces algébriques. (French) JFM 40.0473.02
Im Anschluß an seine Untersuchungen über die Anzahl der Doppelintegrale zweiter Gattung bei algebraischen Flächen, die eine Korrespondenz \((1,)\) mit den Punktepaaren einer algebraischen Kurve gestatten (F. d. M. 39, 495-497, 1908, JFM 39.0496.01, JFM 39.0496.02), betrachtet der Verf. die algebraischen Flächen, deren Punkte eine Korrespondenz \((1,2)\) mit den Punktepaaren einer nichtsingulären hyperelliptischen Kurve des Geschlechtes \(p\) zulassen, und findet als Anzahl der Doppelintegrale zweiter Gattung den einfachen Ausdruck \(2p^2-p-1\); für \(p=2\) erhält man im besonderen die Kummerschen Flächen. Daß die Anzahl \(2p^2-p-1\) “im allgemeinen” herauskommt, läßt sich leicht einsehen, wenn man aus den \(2p\) Abelschen Integralen zweiter Gattung der hyperelliptischen Kurve \(C_p\): \[ \int \frac{z^q dz}{\sqrt{P(z)}}\quad (q=0,1,2,\dots,2p-1), \] wo \(P(z)\) ein Polynom \((2p+1)\)ten Grades bedeutet, die Verbindungen herstellt: \[ \int\int\frac{z^qz^{\prime r}-z^rz^{\prime q}}{\sqrt{P(z)}\sqrt{P(z')}}\;dzdz'\quad (q,r=0,1,2,\dots,2p-1) \] und die bekannte Weierstraßsche Identität beachtet. Allein auf diesem Wege bleibt unentschieden, wann die Anzahl sich vermindert. Daß dies nur bei singulären hyperelliptischen Kurven eintreten kann, ist das wesentliche Ergebnis der vorliegenden Abhandlung.
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Full Text: DOI Numdam EuDML