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Neue Sätze über Symmetralfunktionen und die Abelschen Funktionen der Riemannschen Theorie. (German) JFM 40.0489.03
Durch eine Gleichung \(G(p,q)=0\) wird eine Klasse Funktionen \((p,q)\) vom Geschlecht \(\tau\) definiert; dazu seien \(\omega\tau\) unabhängige Integrale erster Gattung, \(\vartheta(w)\) die zugehörigen \(4^\tau\) Thetafunktionen. Durch Hinzunahme einer Gleichung \(z^2=H(p,q)\) entsteht eine Klasse algebraischer Funktionen \((z, p, q)\) vom Geschlecht \(\varrho=\tau+\sigma\); dazu gehören \(\varrho\) unabhängige Integrale erster Gattung \(u\) und \(4^\varrho\) Thetafunktionen \(\Theta(u)\). Als \(\tau\) Integrale \(u\) können die \(w\) genommen werden, \(\sigma\) weitere, deren Integranden mit \(z\) multipliziert der Klasse \((p,q)\) angehören, seien mit \(v\) bezeichnet; die ihnen zugehörigen \(4^\sigma\) Thetafunktionen heißen \(\varphi(v)\) oder, wenn ihre Periodizitätsmoduln durch ihre Hälften ersetzt werden, \(\eta(v)\).
Diese \(\eta(v)\) sind dadurch charakterisiert, daß der Quotient \(\eta(v)\vartheta(w):\Theta(u)\) bei jeder Periodenvermehrung der \(u\) ungeändert bleibt.
Ist \(\sigma=\tau\), so wird dadurch jedem \(\vartheta\) ein \(\eta\) zugeordnet und umgekehrt.
Ist \(\sigma=\tau\), so gehört zu jedem \(\vartheta\) eine Gruppe von \(2^{\sigma-\tau}\) Größen \(\eta\), die durch die Halbperioden einer Gruppe \(G\) ineinander übergeführt werden, während diese das \(\vartheta\) ungeändert lassen; die \(2^{\sigma-\tau}\) zusammengeordneten Funktionen \(\eta\) sind entweder alle gerade oder alle ungerade, je nachdem es das zugehörige \(\vartheta\) ist.
Ist \(\sigma<\tau\), was nur im Falle \(\sigma=\tau-1\) möglich ist und das Fehlen unpaariger Randlinien charakterisiert, so gehört zu jedem \(\eta\) ein Paar gleichartiger Funktionen \(\vartheta, \vartheta_\kappa\), welche durch die Halbperiode \(\kappa\) (im Falle des reellen Symmetrals ist \(\kappa\) die Periode der Symmetrieaxe) ineinander übergehen.
Der Riemannschen Formel \(\Delta\cdot \Theta^2=du\cdot du'\) entspricht für die Produkte zusammengehöriger ungerader \(\eta\) und \(\vartheta\) die Formel \(\frac12\,(dv dw'+dw dv')=\Delta\eta\vartheta\). Im Falle \(\sigma=\tau=1\) ergibt sich \(dv=\sqrt{dw dw_\kappa}\) und weiter für die geraden \(\eta\) und \(\vartheta \eta(0)=\sqrt{\vartheta(0)\vartheta_\kappa(0)}\). In dieser Gleichung ist die Wurzel jener Relationen zu sehen, welche von den Nullwerten der geraden Thetafunktionen im Riemannschen Falle erfüllt werden, während sie im allgemeinen Falle nicht bestehen. Es ergibt sich nämlich daraus der Satz: Wenn man bei einem System Riemannscher Thetafunktionen von \(\tau\) Veränderlichen eine halbe Periode \(\kappa\) wählt und die \(4^{\tau-1}\) Produkte \(\vartheta\vartheta_\kappa\) aufstellt, die aus gleichartigen Faktoren bestehen, so existiert ein zweites, im allgemeinen nicht Riemannsches System von \(4^{\tau-1}\) Thetafunktionen von \(\tau-1\) Veränderlichen, so daß die Nullwerte der geraden Thetafunktionen dieses zweiten Systems mit den Quadratwurzeln aus den Produkten \(\vartheta(0)\vartheta_\kappa(0)\) übereinstimmen. Für den Fall \(p=4\) hat die im Riemannschen Falle zwischen den geraden Thetanullwerten bestehende Relation bekanntlich zuerst Schottky (F. d.M. 20, 488, 1888, JFM 20.0488.02) aufgestellt.
Dadurch, daß die mit dem Körper \((z, p, q)\) zusammenhängenden Funktionen \(\eta\) mehr Parameter enthalten können als die Riemannschen Thetafunktionen von \(\sigma\) Veränderlichen, geben die Jung-Schottkyschen Untersuchungen eine Erweiterung der Riemannschen Theorie, die im Falle \(\sigma=\tau-1\) der Hauptsache nach eine Verallgemeinerung der Theorie der hyperelliptischen Funktionen ist.
Dies tritt in der zweiten Mitteilung zutage, in welcher es sich um die Darstellung der zu einer Klasse \((z,p,q)\) gehörigen Wurzelgrößen \(\sqrt{du}\) handelt. Die den \(4^{\tau+\sigma}\) Thetafunktionen entsprechenden Wurzelgrößen zerfallen in \(4^\tau\) Gruppen von je \(4^\sigma\) Gliedern, den halben Perioden des Körpers \((p, q)\) entsprechend. Darunter ist, zur ganzen Periode gehörig, eine Hauptgruppe \((0)\). Die Wurzelfunktionen dieser Hauptgruppe drücken sich aus durch die \(\vartheta\) des Körpers \((p,q)\), und hier findet die größte Analogie mit den hyperelliptischen Funktionen statt. Die Wurzelfunktionen, die zu einer anderen halben Periode \(\kappa\) gehören, lassen sich mit Hülfe der oben definierten \(\eta\)-Funktionen von \(\sigma=\tau-1\) Variablen darstellen.

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