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Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index. (German) JFM 40.0510.02

Die bekannten semikonvergenten Entwicklungen der Zylinderfunktionen, die am eingehendsten von Hankel untersucht sind, sind zur Berechnung der Funktionswerte für große Argumente \(x\) nur dann brauchbar, wenn der Index \(\alpha\) der Zylinderfunktion klein gegen \(x\) ist. Physikalische Anwendungen erfordern aber die Kenntnis der Funktionswerte auch für den Fall, daß \(\alpha\) mit \(x\) vergleichbar wird. Der Verf. hat sich daher die Aufgabe gestellt, solche Entwicklungen anzugeben, welche die Zylinderfunktionen asymptotisch ersetzen können für große Werte des (reellen) Arguments bei unbeschränkt veränderlichen (ebenfalls reellen Werten) des Index. Er geht dabei von den Hankelschen Funktionen \(H_1^\alpha(x), H_2^\alpha(x)\) aus, die sich im Anschluß an eine Arbeit von Sommerfeld durch das auf verschiedenen Wegen zu erstreckende komplexe Integral \[ H^\alpha(x)=-\frac{1}{\pi}\int e^{-ix\sin\tau}e^{i\alpha\tau}d\tau \] darstellen lassen. Indem er den Integrationsweg so spezialisiert, daß die Ausrechnung der Integrale möglichst vorteilhaft wird, gelangt er zu folgender Umformung des Integrals für \(H_2^\alpha(x)\). Ist \[ f(\tau)=i\left(\sin\tau-\frac{\alpha}{x}\tau\right), \] ferner \[ f'(\tau_0)=0, \] so führe man in dem obigen Integral die neue Veränderliche \[ (9)\quad t=f(\tau)-f(\tau_0) \] ein; dann wird \[ (10)\quad H_2^\alpha(x)=\frac{e^{-xf(\tau_0)}}{\pi}\left(\int_0^\infty e^{-xt}\Phi(t)dt-\int_0^\infty e^{-xt}\Phi_1(t)dt\right). \] Darin ist die Integration nach \(t\) längs der reellen Achse zu erstrecken. Ferner sind die Funktionen \(\Phi(t)\) und \(\Phi_1(t)\) die sich aus (9) ergebenden Werte von \(\frac{1}{f'(\tau)}\). Werden \(\Phi(t)\) und \(\Phi_1(t)\), die sich nur durch das Vorzeichen von \(\sqrt{t}\) unterscheiden, nach Potenzen von \(\sqrt{t}\) entwickelt, so erhält man aus (10) die gesuchten semikonvergenten Reihen. Die Rechnung wird für \(H_2^\alpha(x)\), danach für \(H_1^\alpha(x)\) durchgeführt, und daraus werden die Reihen für die gewöhnlich betrachteten Zylinderfunktionen \(I_\alpha(x)\) und \(I_{-\alpha}(x)\) abgeleitet. Von den Resultaten mögen hier die für \(I_\alpha(x)\) Platz finden.
1) Ist \(\alpha<x\), so setze man \(\cos \tau_0=\frac{\alpha}{x}\); dann wird \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\;\sum_{n=0}^n A_n(\tau_0)\;\frac{\varGamma(n+\frac12)}{\left(\frac{x}{2}\sin\tau_0 \right)^{n+\frac12}}\cdot \cos\left\{x(\sin\tau_0-\tau_0\cos \tau_0)-(2n+1)\frac{\pi}{4}\right\}, \] und darin ist \[ \begin{aligned} A_0(\tau_0)&=1,\;A_1(\tau_0)=\frac{1}{8}+\frac{5}{24}\text{cotg}^2\tau_0,\\ A_2(\tau_0)&=\frac{3}{128}+\frac{7}{576}\text{cotg}^2\tau_0+ \frac{385}{3456} \text{cotg}^4\tau_0.\end{aligned} \] 2) Für \(\alpha>x\) setze man ebenfalls \(\cos\tau_0=\frac{\alpha}{x}\), wo \(\tau_0\) einen negativ imaginären Winkel bezeichnet, so wird \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\;e^{ix(\sin\tau_0-\tau_0\cos\tau_0)}\;\sum_{n=0}^n A_n (\tau_0)\;\frac{\varGamma(n+\frac12)}{\left(i\,\frac{x}{2}\sin\tau_0\right)^{n+\frac12}}\,, \] und hier haben die \(A_0,A_1,A_2,\dots\) dieselbe Bedeutung wie im vorigen Falle.
3) Ist der Index \(\alpha\) ungefähr gleich dem Argumente \(x\), so setze man \[ \frac{\alpha}{x}=1-\varepsilon \] und hat \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{3\pi}\;\sum_{n=0}^n\;B_n(\varepsilon x)6^{\frac{n+1}{5}}\sin\;\frac{(n+1)\pi}{3}\;\frac{\varGamma(\frac{n+1}{3})}{x^{\frac{n+1}{5}}}; \] hierin ist \[ B_0(\varepsilon x)=1,\quad B_1(\varepsilon x)=\varepsilon x,\;B_2(\varepsilon x)=\frac{\varepsilon^2x^2}{2}-\frac{1}{20}, \]
\[ B_3(\varepsilon x)=\frac{\varepsilon^3x^6}{6}-\frac{\varepsilon x}{15},\dots. \]

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References:

[1] Phys. Ztschr., 9, S. 775, 1908 und Verhdl. d. Deutschen physik. Ges. 10, S. 741, 1908.
[2] Note on Bessel’s Functions, Phil. Mag. 44, S. 337, 1872. · JFM 28.0408.02
[3] B. Riemann, Ges. math. Werke und wissenschaftlicher Nachlaß, Leipzig 1876, S. 400. · Zbl 0053.19405
[4] J. H. Graf und E. Gubler, Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen, Bern 1898, Heft 1, S. 96.
[5] Phil. Mag 14, Ser. VI, 1907, S. 697.
[6] Phil. Mag. 16, Ser. VI, 1908, S. 271.
[7] Math. Ann. 47, S. 317, 1895. · JFM 26.0028.01
[8] Der Beweis der Semikonvergenz gelingt leicht, indem man für den Rest der abgebrochenen, nach Potenzen vont fortschreitenden Reihe für ?(t) eine ähnliche Ungleichung beachtet, wie sie z. B. von E. Borel, Leçons sur les séries divergentes, Paris 1901, S. 25 nach dem Vorgange Cauchýs zum Beweise der Semikonvergenz der Stirlingschen Reihe herangezogen wird.
[9] Math. Ann. Bd. 1, S. 494, 1869. · JFM 02.0015.05
[10] N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, Leipzig 1904.
[11] Vgl. z. B. Nielsen, Handbuch der Theorie der Gammafunktionen, Leipzig 1906, S. 96. Wir bemerken noch, daß auch diese Formel sich ohne weiteres nach der hier benutzten Methode aus der. Hankelschen komplexen Integraldefinition von ?(?) érgibt. · JFM 37.0450.01
[12] Die Formeln (47) folgen ohne weiteres aus den Gleichungen (3) und (4) von Nielsen, loc. cit. Handbuch der Theorie der Gammafunktionen, Leipzig 1906, S. 96. Wir bemerken noch, daß auch diese Formel sich ohne weiteres nach der hier benutzten Methode aus der Hankelschen komplexen Integraldefinition von ?(?) érgibt. § 17.
[13] Man vergleiche z. B. N. Nielsen, loc. cit. Handbuch der Theorie der Gammafunktionen, Leipzig 1906, S. 96. Wir bemerken noch, daß auch diese Formel sich ohne weiteres nach der hier benutzten Methode aus der Hankelschen komplexen Integraldefinition von ?(?) érgibt. S. 5.
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