×

Über die Konstruierbarkeit mit Lineal und Zirkel. (German) JFM 40.0548.05

Gewöhnlich wird eine Konstruktionsaufgabe als gelöst betrachtet, wenn es gelungen ist, durch eine Folge gewisser Fudamentalkonstruktionen die gegebenen Elemente zu einer Figur zu ergänzen, unter deren Punkten sich unter andern auch der gesuchte befindet. Der Verf. will aber eine Aufgabe nur dann als gelöst ansehen, wenn eine Konstruktion angegeben ist die aus einer bestimmten Folge ganz bestimmter Fundamentalkonstruktionen besteht, deren letzte den gesuchten Punkt liefert; dabei brauchen nicht die einzelnen im Laufe der Konstruktion auftretenden Elemente eindeutig festgelegt zu sein, wenn nur jede der gegebenen Möglichkeiten, die Konstruktion fortzusetzen, zu demselben Schlußergebnis führt. Das bekannte Kriterium für die Konstruierbarkeit mit Lineal und Zirkel ist zunächst nur für die oben angegebene weitere Fassung des Begriffs der Konstruierbarkeit bewiesen. Für die engere Fassung beweist der Verf. folgendes Kriterium: Wenn drei nicht in einer Geraden liegende Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten \((0,0), (1,0), (a,b)\) gegeben sind, so ist für die eindeutige Konstruierbarkeit eines Punktes \((x, y)\) mit Lineal und Zirkel notwendig und hinreichend, daß \(x\) und \(y:b\) dem Rationalitätsbereich \(R (a,b^2)\) angehören. Damit eine Gerade \(Ax+By+C=0\) eindeutig konstruierbar sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(A,B:b\) und \(C\), eventuell nach Division durch einen passenden gemeinsamen Faktor, Zahlen des Rationalitätsbereiches \(R(a,b^2)\) seien. Die eindeutig konstruierbaren Abstände zwischen zwei Punkten sind dadurch charakterisiert, daß sie, bezogen auf die eingeführte (durch das gewählte Koordinatensystem festgelegte) Längeneinheit, durch Quadratwurzeln aus Zahlen des Bereiches \(R(a,b^2)\) repräsentiert werden. Für den allgemeineren Fall, daß eine beliebige endliche Anzahl von Punkten gegeben ist, lautet das ohne Beweis mitgeteilte Kriterium: Wenn in der Ebene \(\mu+2\) Punkte gegeben sind, deren rechtwinklige Koordinaten \((0,0), (1,0), (a_1,b_1), (a_2,b_2),\dots,(a_\mu,b_\mu)\) sind, so sind alle und nur jene Punkte \((x,y)\) eindeutig mit Lineal und Zirkel konstruierbar, deren Koordinaten \((x, y)\) sich als rationale rationalzahlige Funktionen von \(a_1,a_2,\dots,a_\mu,b_1,b_2,\dots,b_\mu\) darstellen lassen, und zwar derart, daß \(x\) eine gerade, \(y\) eine ungerade Funktion der \(b_1,b_2,\dots,b_\mu\) ist. Dieselben Kriterien gelten auch bei Beschränkung auf die Elemente Punkt und Gerade für die Konstruktionen mit dem rechten Winkel, wenn man den Gebrauch desselben auf das Ziehen von Senkrechten zu gegebenen Geraden beschränkt. Das allgemeinere Kriterium läßt sich auch in folgender Form aussprechen: Wenn in der (endlichen reellen) Ebene die Punkte \(P_1,P_2,\dots,P_m\) \((m\geqq 2)\) gegeben sind, so sind alle und nur jene (endlich fernen reellen) Punkte eindeutig mit Lineal und Zirkel – und ebenso mit dem nur auf die einfachere Art benutzten rechten Zeichenwinkel – konstruierbar, die sich mit dem Lineal allein (natürlich nur begrifflich) aus den Punkten \(P_1,P_2,\dots,P_m\) und aus dem Paar der unendlich fernes Kreispunkte konstruieren lassen.

PDF BibTeX XML Cite